9-3二重积分的应用

一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.dddyxf),(dyxf),(),(yx若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为DdyxfU),(dU实例　一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道．通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动．若地球半径取为R，问卫星距地面的高度h应为多少？通讯卫星的覆盖面积是多大？二、曲面的面积卫星hoxz１．设曲面的方程为：),(yxfz,Dxoy面上的投影区域为在,Dd设小区域,),(dyx点.)),(,,(的切平面上过为yxfyxMS.dsdAdAdsszd则有，为；截切平面为柱面，截曲面轴的小于边界为准线，母线平行以如图，d),(yxMdAxyzso,面上的投影在为xoydAd,cosdAd,11cos22yxffdffdAyx221,122DyxdffA曲面S的面积元素曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz22)()(1３．设曲面的方程为：),(xzhy曲面面积公式为：.122dzdxAzxDxyzy２．设曲面的方程为：),(zygx曲面面积公式为：;122dydzAyzDzxyx同理可得例1求球面2222azyx，含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.由对称性知14AA,1D：axyx22曲面方程222yxaz,于是221yzxz,222yxaa解)0,(yx面积dxdyzzADyx1221412224Ddxdyyxaacos0220142ardrrada.4222aa例2求由曲面azyx22和222yxaz)0(a所围立体的表面积.解解方程组,22222yxazazyx得两曲面的交线为圆周,222azayx在平面上的投影域为xy,:222ayxDxy得由)(122yxaz,2axzx,2ayzy221yxzz22221ayax,441222yxaa知由222yxaz221yxzz,2dxdyyxaaSxyD222441故dxdyxyD2rdrraada022204122a).15526(62a),(yx设xoy平面上有n个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别为nmmm,,,21．则该质点系的重心的坐标为niiniiiymxmMMx11，niiniiixmymMMy11．三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1DxdAx.1DydAyDdA其中,),(),(DDdyxdyxxx.),(),(DDdyxdyxyy由元素法设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的重心例3设平面薄板由)cos1()sin(tayttax，)20(t与x轴围成，它的面密度1，求形心坐标．解先求区域D的面积A，20t，ax20adxxyA20)(20)]sin([)cos1(ttadta2022)cos1(dtta.32aDa2a)(xy所以形心在ax上，即ax,DydxdyAy1)(0201xyaydydxAadxxya2022)]([61203]cos1[6dtta.65所求形心坐标为),(65a.由于区域关于直线ax对称，设xoy平面上有n个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别为nmmm,,,21．则该质点系对于x轴和y轴的转动惯量依次为niiixymI12，niiiyxmI12.四、平面薄片的转动惯量,),(2DxdyxyI.),(2DydyxxI设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为薄片对于轴的转动惯量x薄片对于轴的转动惯量y例4设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别为a、b，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.解设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上，如图aboyx对y轴的转动惯量为,2dxdyxIDybabydxxdy0)1(02.1213ba同理：对x轴的转动惯量为dxdyyIDx2.1213ab例5已知均匀矩形板（面密度为常数）的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解先求形心,1DxdxdyAx.1DydxdyAy建立坐标系如图oyx,hbA区域面积因为矩形板均匀,由对称性知形心坐标2bx，2hy.hb将坐标系平移如图oyxhbuvo对u轴的转动惯量DududvvI222222hhbbdudvv.123bh对v轴的转动惯量DvdudvuI2.123hb薄片对轴上单位质点的引力z设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，计算该平面薄片对位于z轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力．)0(a},,,{zyxFFFF,)(),(23222dayxxyxfFDx,)(),(23222dayxyyxfFDy.)(),(23222dayxyxafFDz为引力常数f五、平面薄片对质点的引力例6求面密度为常量、半径为R的均匀圆形薄片：222Ryx，0z对位于z轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力．)0(a解由积分区域的对称性知,0yxFFdayxyxafFDz23)(),(222dayxafD23)(1222oyzxFdrrardafR0222023)(1.11222aaRfa所求引力为.112,0,022aaRfa几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结思考题.)0(cos,cos之间的均匀薄片的重心求位于两圆babrarabxyo薄片关于轴对称x,0y则DDddxxDrdrrdba20coscoscos2)()(224338abab.)(222ababab思考题解答一、求锥面22yxz被柱面xz22所割下部分的曲面面积.二、设薄片所占的闭区域D是介于两个圆cos,cosbrar)0(ba之间的闭区域,求均匀薄片的重心.三、设有一等腰直角三角形薄片,腰长为a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片的重心.四、设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D由抛物线xy292与直线2x所围成,求xI和yI.练习题五、求面密度为常量的匀质半圆环形薄片:0,222221zyRxyR对位于z轴上点)0)(,0,0(0aaM处单位质量的质点的引力F.六、设由exoyxy及,ln所围的均匀薄板(密度1),求此薄板绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯量最小?一、2.二、)0,)(2(22bababa.三、).52,52(aa四、.796,572yxII五、),(ln22211222222112222aRRaRRaRRaRRfF)11(,0221222aRaRfa练习题答案