广东教育出版社广东省职业技术教研室版《数学》第五章-平面解析几何

第五章平面解析几何第一节平面直角坐标系1.平面直角坐标系的建立为了确定平面上点的位置，我们引进了平面直角坐标系（如图5-2）：（1）在平面上选定两条互相垂直的直线，并规定正方向（用箭头表示）；（2）以两直线的交点O作为原点；（3）选取适当长的线段作为两直线的单位长度．图5-22.平面上点的坐标有序实数对和平面上的点构成了一一对应关系．就是说，在直角坐标系中，平面上的任意一点P，都可以用唯一的有序实数对),(yx来表示，这对数),(yx叫做点P的坐标，并记为),(yxP，x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐与之对应．例如，在图5-2中，A、B、C、D四点的位置可分别由相应坐标来确定．图5-2图5-33．两点间的距离公式21221221yyxxPP例1求图5-2中A、B两点间的距离及其连线段的中点坐标.图5-2解：因为A、B两点的坐标分别为)2,4(、)3,0(，所以由两点间的距离公式可得17)32()04(22AB.由中点坐标公式可得线段AB的中点坐标：2204x，25232y4．线段的中点坐标公式设点),(111yxP、),(222yxP是平面上任意两点，点),(yxP是线段1P2P的中点．下面我们直接给出线段1P2P的中点坐标公式：221xxx，221yyy．解：因为A、B、C三点的坐标分别为)4,2(、)0,4(、)0,5(.所以，由两点间的距离公式可得21.752)04()42(22AB,525)04()52(22AC,9)5(4BC．例2解决本节开头提出的每两孔之间的中心距问题.O图5-1例3在y轴上求一点P，使点P到)0,4(A、)6,2(B两点的距离相等.解：设点P的坐标为),0(y．由两点间距离公式有22216)0()40(yyPA，4012)6()20(222yyyPB．因为PAPB，所以216y40122yy．两边平方，解得2y．于是，得所求点为)2,0(P第二节直线的方程1.提出问题：弹簧挂重物后会伸长.已知弹簧长度y(cm)与所挂物体的质量x（kg）之间的关系可用直线方程bkxy来表示.在几次实验中测得数据如下表（弹簧最大长度为20cm）.你能否根据已给条件算出所挂物体质量为10kg时的弹簧长度呢？如表：x(kg)024y(cm)8910图5-4当直线l与x轴相交时，直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角（如图5-5），叫做直线l的倾斜角.图5-5当直线与x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.1.直线的斜角2.直线的斜率倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用k表示，即tank．例如，倾斜角60的直线的斜率360tank．当=0时，0k；当=90时，k不存在．3.经过两点连线的斜率公式：)(121212xxxxyyk．),(111yxP),(222yxP是直线l上任意两点（如图5-5）．图5-5例如，过点)2,3(1P、)4,1(2P的直线的斜率为113)4(2k．斜率公式的形式特点及适用范围：（1）斜率公式与两点的顺序无关；（2）斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；（3）斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用;（4）当2121,yyxx时，直线的倾斜角＝90，没有斜率.4．直线的纵截距直线l与y轴交点),0(b的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距，又叫做纵截距（如图5-7）．图5-75.直线的方程（斜截式方程）bkxy．这就是斜率为k、纵截距为b的直线l的方程．我们称之为直线方程的斜截式．图5-81．例1根据下列已知条件分别求出相应的直线方程.（1）直线1l：过点)3,0(P，倾斜角为＝135°；（2）直线2l：经过点)3,1(Q，斜率为2；（3）直线3l：经过两点)2,3(1P、)4,1(2P.解：设直线方程的形式为bkxy.（1）依题意知，3b，145tan135tantank.把3b及1k代入bkxy，求得直线1l的方程为3xy.（2）依题意知，点)3,1(Q的坐标适合直线方程，且2k.把点)3,1(Q的坐标及2k代入bkxy，有b)1(23，可解得5b.于是，直线2l的方程为52xy.（3）由两点连线的斜率公式得，113)4(2k.再把1k及点)2,3(1P的坐标代入bkxy，有b312，可解得5b.于是，直线3l的方程为5xy.2．随堂练习：第1题3．例2写出下列特殊直线的方程.（1）过点),(ba的水平方向的直线；（2）过点),(ba的竖直方向的直线.解：（1）此直线上每一点的纵坐标y都等于b，故所求直线的方程为by.特别地，当b=0时，这条直线就是x轴.所以，x轴的直线方程就是0y.（2）此直线上每一点的横坐标x都等于a，故所求直线的方程为ax.特别地，当a=0时，这条直线就是y轴.所以，y轴的直线方程就是0x.4．例3解决本节开头提出的求弹簧长度问题.解：依题意，可设弹簧长度y(cm)与所挂物体的质量x（kg）之间的关系为bkxy.由表格中的数据知，8b，5.024910k，代入直线方程即得85.0xy.因此，当所挂物体质量10x（kg）时，弹簧长度138105.0y（cm）.5．随堂练习：第2题1．课堂小结本节主要介绍直线的倾斜角、斜率、纵截距等基本概念以及直线方程的基本形式（斜截式）及其应用．第三节两条直线的位置关系假设两条不重合．．．的直线1l、2l的斜率都存．．．．在．，斜率分别为1k、2k．1.两直线平行的判定如果两直线互相平行，则它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则这两条直线平行.即1l∥2l1k＝2k.图5-10注意，上面的是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这前提，结论并不成立.2.两直线垂直的判定：如果两直线互相垂直，则它们的斜率之积等于-1；反之，若它们的斜率之积等于-1，则这两条直线垂直.即121kk.图5-11思考：如果两条互相垂直的直线，有一条的斜率不存在，那另一条的斜率是多少？（3）两直线的方程可分别变形为1l：62xy，2l：252xy.得21k，22k，即1k=2k，所以1l∥2l.2．随堂练习：第1、2题3．例2分别求满足给定条件的直线方程.（1）直线1l：过点)3,0(P，且与直线62xy平行；解：设所求直线方程为bkxy（1）依题意知，3b，直线1l的斜率k等于直线62xy的斜率2，即2k.所以直线1l的方程为32xy.（2）直线2l：过点)3,1(Q，且与直线62xy垂直.（2）依题意知，直线1l的斜率k与直线62xy的斜率之积等于-1.而直线62xy的斜率为2，所以直线2l的斜率2121k.把点)3,1(Q的坐标及21k代入bkxy，解得25b.所以直线2l的方程为2521-xy4．随堂练习：第3题5．例3解决开头提出的实际问题.提示：过两点1P、2P连线的斜率公式为1212xxyyk（21xx）．解：依据两点连线的斜率公式，得20102OAk；2)1(024CBk；21024ABk；20102OCk.所以，OA∥CB,OC∥AB,即四边形OABC为平行四边形.6．随堂练习：第4题1．课堂小结本节知识重点是掌握两条直线平行或垂直的判定条件，并能熟练地判断；难点是对斜率的讨论，即利用斜率判定两直线位置关系时，要注意考虑斜率不存在时是否满足题意，以防漏解.1．两条直线的交点：同一个平面内，两条不重合的直线1l：11bky与2l：22bxky，若不平行（即1k≠2k），则必相交.因为其交点既在1l上，又在2l上（如图5-13），所以，交点坐标既满足1l的方程，又满足2l的方程.故交点坐标，就是它们的方程所组成的方程组2211bxkybxky的解.图5-132．两条直线的夹角两条直线相交时，形成四个角，把其中小于或等于90°的正角称为这两条直线的夹角，用表示（900）.如图5-14和图5-15所示，夹角的大小可由两条直线的倾斜角来确定.图5-14图5-15当9012时，如图5-14，两直线1l与2l的夹角12；否则，若9012，如图5-15，1l与2l的夹角12180.特别地，当1l⊥2l时，1l与2l的夹角=90°.1．例1判定直线1l：052yx与2l：052yx是否垂直？若垂直，试确定它们的垂足.解：两直线的方程可分别变形为1l：52xy，2l：2521xy得21k，212k，即121kk，所以1l⊥2l解方程组252152xyxy，得31yx．即垂足为点)3,1(．注意：两直线方程组成的二元一次方程组，若无解，则两直线平行；若有无数多个解，则两直线重合．•2．随堂练习：第1、2题3．例2求下列各组直线的的夹角．（1）直线1l：13xy与直线2l：3xy；解：（1）直线1l与2l的斜率分别为31k，12k，因此，1l与2l的倾斜角分别为601，452.于是得1l与2l的夹角15456012.（2）直线1l：333xy与直线2l：3xy；解：（2）直线1l与2l的斜率分别为331k，12k，因此，1l与2l的倾斜角分别为301，1352.于是得1l与2l的夹角85)30135(18018012.（3）直线1l：32xy与直线2l：321xy.解：（3）直线1l与2l的斜率分别为21k，212k，由于121kk，所以1l⊥2l.即1l与2l的夹角=90°.4．随堂练习：第3题5．例3解决开头提出的实际问题.解：设两条公路所在直线的方程分别为1l：11bxky，2l：22bxky.由公路1l、2l分别经过点)2,0(A与)0,4(B，)3,0(C与)2,2(D知，2140021k，21b；2120)2(32k，32b.所以，两条公路所在直线的方程分别为1l：221xy，2l：321xy.解方程组321221xyxy得两条直线1l与2l的交点坐标为)21,5(E.于是，两公路的交汇处E点到周庄的距离为0025.5210121522OE.第四节点到直线的距离1.点到直线的距离在平面直角坐标系中，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，如图5-17所示.垂线段PQ的长度叫做点P到直线l的距离，记作d.求点到直线的距离可化为两点间的距离来解决.设直线l的方程为0CByAx（都为常数CBA,,，,AB不同时为0）.利用两点间的距离公式可导出，点),(00yxP到直线l的距离公式：图5-172200BACByAxd公式中的分子，就是把点),(00yxP的坐标代入方程式0CByAx的左边所算得的绝对值.若给出的直线方程为斜截式bkxy，则须先将斜截式变形为一般式，再代公式.点),(00yxP到直线l的距离公式：2200BACByAxd1．例1求点)1,32(P到直线l：053yx的距离.解：把3A,1B,5C以及320x，10y代入公式，得点)1,32(P到直线l：053yx的距离为51)3(51132322d2．随堂练习：第1题2200BACByAxd2．两平行线之间的距离求两平