△ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么△A/B/C/与△ABC的相似比为_________.1.相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比:相似三角形的对应边的比,叫做相似三角形的相似比。21(1)识别ABCCAB①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似.CBAABC∽BBAA②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.ABCCABCBAABC∽AACAACBAAB③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.ABCCABCBAABC∽CBBCCAACBAAB给你一个锐角△ABC和一条直线MN;问题你能用直线MN去截△ABC,使截得的三角形与原三角形相似吗?相似三角形DE∥BC△ADE∽△ABCABAEACAD∠DAE=∠CAB△ADE∽△ABC基本图形判定方法∠AED=∠B∠DAE=∠BAC△ADE∽△ABC三边对应成比例的两个三角形相似.相似三角形DE∥BC△ADE∽△ABCABAEACAD∠DAE=∠CAB△ADE∽△ABC基本图形判定方法∠AED=∠B∠DAE=∠BAC△ADE∽△ABC对应角相等;性质定理对应边成比例;周长的比等于相似比;面积的比等于相似比的平方;三边对应成比例的两个三角形相似.练一练基本图形DEMNH过D作DH∥EC交BC延长线于点H(1)试找出图中的相似三角形?(2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_______;(3)若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_____.(4)若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为_____.⊿ADE∽⊿ABC∽⊿DBH2:369DEMNMN相似三角形若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。DEHGFEGFMN12相似三角形若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。EGFEGFMN三、基本图形的形成、变化及发展过程:∽平行型斜交型......旋转平移垂直型特殊特殊平移ABOCD1.添加一个条件,使△AOB∽△DOC四、运用☞角:∠B=∠C或∠A=∠D边:AB∥CDAO:OD=BO:CO“X”型解:ABCDE2.若△ABC∽△ADE,你可以得出什么结论?四、运用☞角:∠ADE=∠B∠AED=∠C边:DE∥BC.BCDEACAEABAD.ECAEDBAD.ACECABDB.2BCDESSABCADE面积:“A”型3、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点,请你添加一个条件,使△ADE与△ABC相似。斜交型角:∠B=∠2或∠1=∠C边:AD:AC=AE:AB解:EBDC4.在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.A解:∵∠A=∠A∵∠ADE=∠B∴△ADE∽△ABC()∴AD:AB=AE:AC∴x:5=y:4∴y=0.8x(0<x≤4)4、已知CD是Rt△ACB斜边AB上的高,且CD=6,BD=12,则AD=________,AC=_________。ABCD3536123垂直型ABCDE1.如图,DE∥BC,D是AB的中点,DC、BE相交于点G。求GBCDE)1(GBCGEDCC)2(知识源于悟=1:2=1:2ABCDEF2.如图:DE∥BC,EF∥AB,AE:EC=2:3,S△ABC=25,求S四边形BDEF知识源于悟解:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴S△ADES△ABC=AEAC()2=425∵S△ABC=25∴S△ADE=4∵AE:EC=2:3∴AE:AC=2:51、如图,点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点,且DE∥BC,BD=2AD,那么△ADE的周长︰△ABC的周长=。ABCDE1:32.右图中,若D,E分别是AB,AC边上的中点,且DE=4则BC=____83.右图中,DE∥BC,S△ADE:S四边形DBCE=1:8,则AE:AC=_____1:3课堂训练:EBDC4.在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.A解:∵∠A=∠A∵∠ADE=∠B∴△ADE∽△ABC()∴AD:AB=AE:AC∴x:5=y:4∴y=0.8x(0<x≤4)学以致用AEBFDC1、如图,在ABCD中,E是BC上一点,BE:EC=1:2,AE与BD相交于F,则BF:FD=_______,S△ADF:S△EBF=______1:31:99:1学以致用EFBGDCA2、如图,ABCD中,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,与DC交于点F,则图中相似三角形共有______对。(全等除外)5例1过∆ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E,求证:AE:ED=2AF:FB。CABFDEGBACO如图:写出其中的几个等积式①AC2=②BC2=③OC2=AO×ABBO×ABAO×BO若AC=3,AO=1.写出A.B.C三点的坐标.(-1,0)(8,0)(0,2)2已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=900,对角线BD⊥CD求证:(1)△ABD∽△DCB;(2)BD2=AD·BCABCD证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC∵∠A=∠BDC=90°,∴△ABD∽△DCB(2)∵△ABD∽△DCB∴AD=BDBDBC即:BD2=AD·BC如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=900,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),PE⊥BP,PE交DC于点E.(1)△ABP与△DPE是否相似?请说明理由;(2)设AP=xDE=y,求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;(3)请你探索在点P运动的过程中,四边形ABED能否构成矩形?如果能,求出AP的长;如果不能,请说明理由;(4)请你探索在点P运动的过程中,△BPE能否成为等腰三角形?如果能,求出AP的长,如果不能,请说明理由。CABDPE25xy5-x学以致用3、如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动,点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B两地同时出发,几秒后△PBQ与原三角形相似?ABCQPQP例:如图,在ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,PQ∥AB,点P在AC上(与点A、C不重合),点Q在BC上。试问:在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长。灵感智慧M1ABCPQABCPQM2例:如图,在ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,PQ∥AB,点P在AC上(与点A、C不重合),点Q在BC上。试问:在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长。灵感智慧PQM3ABCNABCEF如图,在正方形ABCD中,E为BC上任意一点(与B、C不重合)∠AEF=90°.观察图形:DABCEFD(2)若E为BC的中点,连结AF,图中有哪些相似三角形?(1)△ABE与△ECF是否相似?并证明你的结论。△ABE∽△ECF∽△AEF问题1:(1)点E为BC上任意一点,若∠B=∠C=60°,∠AEF=∠C,则△ABE与△ECF的关系还成立吗?说明理由(2)点E为BC上任意一点若∠B=∠C=α,∠AEF=∠C,则△ABE与△ECF的关系还成立吗?C60°60°60°ABEFαααABCEFαααABFCE60°60°60°CABEF△ABE∽△ECFABCEFαααDAFαBCEααDG(1)延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点,若∠B=∠C=α,∠AEF=∠C,连结AF.①找出图中的相似三角形②说出图中相等的角及边之间的关系(2)延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点,若∠B=∠C=α,∠AEF=∠C,当∠AEF旋转到如图位置时,上述关系还成立吗?问题2:善于运用类比、迁移的数学方法解决问题CABEFABCEFABCEFαααABCEFαααD①②③①②①②③①②E为中点变式:.在直角梯形ABCF中,,CB=14,CF=4,AB=6,,CF∥AB,在边CB上找一点E,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似,则CE=_______1.矩形ABCD中,把DA沿AF对折,使D与CB边上的点E重合,若AD=10,AB=8,则EF=______善于在复杂图形中寻找基本型5ADBCEFABCFEEE5.6或2或12注意分类讨论的数学思想EBCDF2.已知:D为BC上一点,∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4,则AF=_______7AEBCDFA变式:已知:△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D为BC的中点,且∠EDF=∠C,(1)若BE·CF=48,则AB=_____(2)在(1)的条件下,若EF=m,则S△DEF=_______m3利用转化的数学思想HP8(1)连接AP、AQ、PQ,试判断△APQ的形状,并说明理由。(2)当t=1秒时,连接AC,与PQ相交于点K.求AK的长。QPABCDK善于在复杂图形中寻找基本型已知:菱形ABCD,AB=4m,∠B=60°,点P、Q分别从点B、C出发,沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动,运动时间为t秒.EQABCDPNF(3)当t=2秒时,连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转,使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F,连接EF.若AN=1,求S△EPF.注意运用转化的数学思想(4)以OS为一边在∠SOC内作∠SOT,使∠SOT=∠BDC,OT边交BC的延长线于点T,若BT=4.8,求AK的长。PQCABEDCABEDCABEDABCEDαααABCEDFααααααOABCDP1、已知:等边△ABC中,P为直线AC上一动点,连结BP,作∠BPQ=60°,交直线BC于点N.(1)当P在线段AC上时,证明PA·PC=AB·CN(2)若P在AC的延长线上,上述关系是否成立?(3)若P在CA的延长线上,CN=1.5,BC=2,求AP、BP的长NBCAQNBCAQNBCAQP60°60°60°PP2、在平面直角坐标系中,四边形OABC为等腰梯形,OA∥BC,OA=7,BC=3,∠COA=60°,点P为线段OA上的一个动点,点P不与O、A重合,连结CP.(1)求点B的坐标。(2)点D为AB上一点,且AD:BD=3:5,连结PD,在OA上是否存在这样的点P,使∠CPD=∠BAO?若存在,求出直线PB的解析式,若不存在,请说明理由。OxyABCDP)32,5(B312322323xyxy或FBCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=43(1)请在x轴上找一点D,使得△BDA与△BAC相似(不包含全等),并求出点D的坐标;(2)在(1)的条件下,如果P、Q分别是BA、BD上的动点,连结PQ,设BP=DQ=m,问:是否存在这样的m,使得⊿BPQ与⊿BDA相似?如存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由。用一用OD(1)∵△BDA∽△BAC∴∠CAD=∠ABC∴tan∠CAD=∠ABC=∵BC=4∴AC=BC·tan∠ABC=3∴CD=AC·tan∠CAD=3×=∴OD=OC+CD=1+=∴D(,0)34349494134134用一用BCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=43OD用一用PQPQ(1)当PQ∥AD时,△BPQ∽△BAD则即:133413534mm解得:259mBPBQ