哈密顿算符不同坐标下的表示

哈密顿算符不同形式下的表达式胡连钦(08180218)范世炜(08180218)摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。关键词：哈密顿算符微分运算推导过程动量分量算符表述应用1.引言在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：VmpVTH2/ˆˆˆˆ2如果我们从波函数)ˆ(r出发，位置算符是空间矢量自身：rrˆ它的分量是xxˆ，yyˆ，zzˆ动量算符表示为ipˆ它的分量是xipxˆ，yipyˆ，zipzˆ对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则ip得到VmH222ˆ在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式2.1、极坐标下的哈密顿算符极坐标中独立变量、与直角坐标中独立变量x、y之间的关系：xyyxarctan22图1极坐标与直角坐标的关系根据上述关系有：sincosxxxcossinyyyxy哈密顿算子在直角坐标中的表达式为：yxeyex据上述坐标之间的微分关系为：222222)1()()cos(sin)sin(cos)()(yx所以哈密顿算子在极坐标中的表达式为：ee1据哈密顿算子2的计算过程有：)sin)(cossin(cos)(22xxx222222222sincossin2cossin2sincos222222222222coscossin2cossin2cossiny所以拉普拉斯算子2在极坐标中的表达式[5]为：22222211或22221)(1所以极坐标下的哈密顿算符Hˆ可以表示成：VmH)1)(1(2ˆ2222（1.1）在极坐标下的动能表达式为：)(21222mT正则动量为：mTp和22mTp得到哈密顿量为：VmpmpH22222ˆ（1.2）在极坐标中将（1.2）式直接进行量子化，通过满足ijjiipq]ˆ,ˆ[的要求，如果仍将相应的算符表示为：ipˆ，ipˆ得到VmH)1(2ˆ222222（1.3）通过比较，发现（1.3）与（1.1）不一致，但是（1.1）式是正确的，错误的原因是ipˆ并非厄密算符，一个算符F满足FF，才是厄密算符。量子力学中表示力学量的算符必须是厄密的，而动量分量显然是力学量，所以表示动量分量的算符必须是厄密算符。所以ipˆ不能作为动量算符的分量表示。通过厄密性的要求，可以证明径向的动量算符应该为1)21(ˆiip（1.4）现在把（1.4）式，ipˆ带入（1.2）式得到VmmH222222228)11(2ˆ（1.5）比较（1.5）与（1.1），发现多了228m项，尽管所有的算符已经满足对易规则且为厄密算符，但是仍然没有得到正确的量子哈密顿量。所以我们通过构造动量分量pˆ的算符，在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为ppˆ或ppˆ，过渡到量子力学，由于pˆ和ˆ不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取iippp)(21ˆ这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。所以动量算符在球坐标系中的各分量为iipˆ，ipˆ。2.2、柱坐标下的哈密顿算符柱坐标中独立变量r、、z与直角坐标中独立变量x、y、z之间的关系zzxyyxrarctan22图2直角坐标与柱坐标的关系据上述关系有：222222)()cos(sin)sin(cos)()()(zrrrrzyx222)()1()(zrr所以哈密顿算子在柱坐标中的表达式为：zrezerer1据哈密顿算子2的计算过程有：22222222222sincossin2cossin2sincosrrrrrrrx222222222222coscossin2cossin2cossinrrrrrrry2222zz。所以拉普拉斯算子2在柱坐标中的表达式为：2222222211zrrrr或2222221)(1zrrrrr所以柱坐标下的哈密顿算符Hˆ可以表示成：VzrrrrrmH)1)(1(2ˆ222222（2.1）在柱坐标中将（2.1）式直接进行量子化，构造动量分量rpˆ的算符，在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为prrprˆ或rrpprˆ，过渡到量子力学，由于rpˆ和rˆ不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取ririrrpprrpr)(21ˆ其实柱坐标中的动量分量与极坐标下的情形十分相似，就多了动量在Z上的分量zpˆ。所以动量算符在球坐标系中的各分量为ririprˆ，ipˆ，zipzˆ。2.3、球坐标下的哈密顿算符球坐标中独立变量r、、与直角坐标中独立变量x、y、z之间的关系xyzyxzyxrarctanarctan22222图3直角坐标与球坐标的关系根据上述关系有：sinsincoscoscossinrrrxsincossincossinsinrrryrrzsincos利用与柱坐标中相同的运算过程，可给出哈密顿算子在球坐标中的表达式erererrsin11根据哈密顿算子的计算过程，得到拉普拉斯在球坐标下的表达式为：22222222222sin11sincos2rrrrrr或2222222sin1)(sinsin11rrrrrr所以球坐标下的哈密顿算符Hˆ可以表示成：VrrrrrrmH]sin1)(sinsin11[2ˆ2222222然后对上式进行量子论，利用正则变换很容易得到VprprpmHr)ˆsin1ˆ1ˆ(21ˆ222222在球坐标下，动量整体的算符[6]表示)ˆsin1ˆ1ˆ(ˆerereriipr但是ri和ri1都不是厄密算符，所以都不能作为动量分量的算符表示。为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取ririrrpprrpr)(21ˆ这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。同理，可以构造tan211)ˆˆ(21ˆririeppep，sin1ˆrip是厄密算符，可以作为pˆ的算符表示。2.4、哈密顿算符的矩阵形式量子力学理论可以证明：每一力学量算符在矩阵代数中都有一对应的矩阵表示。现在，我们对哈密顿算符Hˆ的矩阵表示作一简略的数学推导。在量子力学中，所研究的重要问题就是求解薛定谔方程：EHˆ（4.1）如果将波函数看出是n个线性无关的波函数),...2,1(nii的线性组合，即：niiinncccc12211...（4.2）如果我们选取一组正交向量1，2，···，n作为n维空间的一个基底，从而可以用向量形式表示出来，即：),...,,(21nccc（4.3）再将哈密顿算符Hˆ看成是在该矢量空间的线性变换，则可用矩阵来表示这个变换。不妨令：nnnnnnaaaaaaaaaH..........................ˆ212222111211（4.4）矩阵代数告诉我们，任一向量经线性变换后仍为该空间的一个向量。因此，经Hˆ变换后，可得一新的向量。现令该新的向量为B：niiinbbbbB121),...,,(也就是：niiinnnnnnnnbBbbbcccaaaaaaaaaH12121212222111211..........................ˆ（4.5）又因Hˆ是线性算符，故有：niiinnnnHcHcHcHccccHH122112211ˆˆ...ˆˆ)...(ˆˆ（4.6）根据矩阵代数可知，任一单位矢量i经Hˆ变换后所得的新矢量iHˆ一定可写成1，2，···，n的迭加形式，因此，可令：iniijnnjjjddddH12211ˆ),...2,1(nj（4.7）那么式（4.6）便成为：niiijnjjdcH11ˆ（4.8）对式（4.8）施以必要的代数运算：ninjijijnjniiijjcddcH1111ˆ与式（4.5）进行比较，立即看出：njjijicdb1),...,2,1(ni写成矩阵形式，即为：nnnnnnnncccdddddddddbbb2121222211121121..........................再与式（4.5）进行比较，就得：nnnnnnnnnnnndddddddddaaaaaaaaa....................................................212222111211212222111211或：ijijda若将式（4.6）两边左乘i并在整个空间积分，即得：dddddddHnnjijijiji...ˆ2211ddddrnrirjrnrrji11（4.9）注意到i，r的正交、归一条件，即时当时当riridirri01那么式就变成：ijijiiaddHˆ若积分dHiiˆ用符号ijH来代替，便有：ijijaH根据式（4.9），即得出哈密顿算符Hˆ的矩阵形式为：nnn