广东教育出版社广东省职业技术教研室版《数学》第一章-方程、集合与不等式

第一章方程、集合与不等式提出问题：出租车司机小刘某天下午的营运全是在南北方向的白云大道上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天下午的行车里程（单位：km）是这样记录的：+15，-2，+5，-1，+10，-3，-2，+12，+4，-5，+6，请算算小刘将最后一名乘客送到目的地时，距离下午出车的地点是多少公里？实数的概念有理数和无理数统称为实数.实数可分类为：如：-3，0，，，等都是实数.自然数无限不循环小数负无理数正无理数实数有理数无理数整数分数负分数负整数正整数零正分数有限小数或无限循环小数435实数的相关概念（1）数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。每个实数都可以用数轴上的点来表示.（2）相反数——只有符号不同的两个数，其中一个数叫做另一个数的相反数.若a,b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a,b互为相反数.（3）倒数——1除以一个非零数的商叫做这个数的倒数.若a,b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a,b互为倒数.实数的相关概念（4）平方根——如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.即如果那么就叫做a的平方根.记作①正数的平方根有两个，他们互为相反数；②零的平方根只有一个，仍是零；③负数没有平方根（因为任何实数的平方不可能是负数）.2、实数大小的比较比较任意两个实数的大小，这里主要学习差比法，即：如果a-b0，那么ab；如果a-b=0，那么a=b；如果a-b0，那么ab.例11．例1已知a的倒数是32，b的负倒数是34，c与d互为相反数，求dcba212148的值.2．随堂练习：第1题例23.例2比较a与2a的大小.解：由于a-2a=-a，所以当a0时，-a0，则a-2a0，即a2a；当a=0时，-a=0，则a-2a=0，即a=2a；当a0时，-a0，则a-2a0，即a2a.4．随堂练习：第3题例35．例3解决导入中提出的实际问题.解：由题意，距离下午出车的地点为（+15）+（-2）+（+5）+（-1）+（+10）+（-3）+（-2）+（+12）+（+4）+（-5）+（+6）=15-2+5-1+10-3-2+12+4-5+6=52-13=39（公里）.所以，小刘将最后一名乘客送到目的地时，距离下午出车的地点是39公里.例4分析：这是求有特定条件的代数式的值的问题；故通常从条件出发，寻找条件与所求的切入点.6．随堂练习：第2题二、绝对值和不等式1.绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.数x的绝对值可表示为x.由绝对值的意义可知：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.以上关系可用式子表示为：)0()0(0)0(xxxxxx2.xa、xa(a0)型的不等式象式子x2，x1，1x≤2等都有这样的特点：在绝对值符号内含有未知数.我们把绝对值符号内含有未知数的不等式叫做含有绝对值的不等式.在数轴上，凡是到原点的距离小于2的点都集中在-2到2的内部，反之，在-2和2这两点之间的任意一点到原点的距离都是小于2的.因而不等式x2的解是-2x2，如图1-3所示.20-2|x|2图1-3x2凡是到原点的距离大于2的点则分散在-2和2这两点的外侧，反之，在-2和2两点的外侧的任意一点到原点的距离都是大于2的.因此不等式x2的解是x-2或x2.如图1-4所示.|x|2-220图1-4x2一般地，如果0a，那么.,axaxaxaxaax或如图1－5、1－6.图1-5)(oaaxa00-a-a0-aa图1—6xa例1解决开头提出的实际问题.解：在足球门所在直线上建立数轴，设数轴上的点对应的实数是x，那么x满足：x3.66，即-3.66x3.66.类似地，若设在足球门两端（对应的数是-3.66和3.66）以外水平方向的射线上的点对应的实数是x，则x应满足：x3.66,即x-3.66或x3.66.例2利用绝对值的意义，化简：（1))1(1xx；(2))1(1xx.解：（1）因为1x，01x，所以11xx（2）因为1x，01x，所以xxx1)1(1随堂练习：第1题例3解下列不等式：（1）3x；（2）321x；（3）11x随堂练习：第3题第二节方程和方程组1.一元一次方程一起来观察如下式子：02x（1）23)1(21xx（2）32)2(3yy（3）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程.一元一次方程的一般形式是：bax（)0a.能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做这个方程的解（根）.求这个未知数的过程就叫做解方程.解方程的依据就是等式的性质，通过同解变形求得未知数即方程的解。2.解一元一次方程的步骤解一元一次方程一般有：去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1,最终把一元一次方程变形为的形式等步骤.1.例1解方程32221xxx解：去分母，得)2(212)1(36xxx去括号，得4212336xxx移项，得3412236xxx合并同类项，得55x，把未知数的系数化为1，得1x.2．随堂练习：第1题3．例2解方程xxx43)]2132(34[2解：xxx43)]2132(34[2xxx43)213234(2（去括号）xxx43134381433438xxx（移项）1291632xxx（去分母）127x（合并同类项）712x.4．随堂练习：第2、3题一元二次方程一起来观察如下方程：0412xx（1）2)2)(8(xx（2）0232xx（3）我们发现，它们都是含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程，我们把这样的方程叫做一元二次方程任何一个一元二次方程都可以化成02cbxax的形式，因此，我们把形如：02cbxax)0,,(acba为常数，的方程，称为一元二次方程的一般形式.1.配方法化成nmx2)(的形式2.公式法02cbxax)0(a时，得到的根是关于cba,,的表达式：aacbbx242)04(2acb.解一元二次方程例1用配方法解方程0982xx解：把常数项移到方程的右边，得982xx两边都加上24（一次项系数8的一半的平方），得2224948xx即：25)4(2x开平方，得54x即54x，或54x.所以11x，92x2．随堂练习：第2题3．例2用公式法解方程2xx742解：移项，得20472xx即4,7,2cba.081)4(247422acb代入公式得49722817x所以4,2121xx例3用因式分解法解方程（1）)2(5)2(3xxx解：（1）移项，得0)2(5)2(3xxx提公因式，得0)53)(2(xx所以05302xx或方程的根是1x-2，352x解：由十字相乘法，方程01032xx化为0)53)(2(xx所以05302xx或方程的根是1x-2，352x.（2）01032xx方法：拆两边，凑中间，因式横向写。（2）01032xx方法：拆两边，凑中间，因式横向写。二元一次方程组例1解下列二元一次方程组（1）②yx①yx1375（2）②yx①yx01083872解：（1）由②得③xy13将③代入①得7)13(5xx解得1x将1x代入③得2113y所以，原二元一次方程组的解是21yx（2）②yx①yx01083872所以，原二元一次方程组的解是5456yx由⒉②⒊①得：④yx③yx2016624216由③－④得：45y即54y将54y代入①得：85472x即56x集合1．集合：我们把具有某种特定属性的对象所构成的整体称为集合（简称为集）．2．元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。※元素与集合的关系：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA，读作“a属于A”；（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA，读作“a不属于A”3．有限集：含有有限个元素的集合，比如｛我国古代的四大发明｝．4．无限集：含有无限个元素的集合．比如｛正方形｝5．单元素集：只有一个元素的集合．比如｛1｝．6．空集：不含任何元素的集合．比如｛内角和大于180°的三角形｝．7．点集：由点所组成的集合．比如｛（x，y）︱y=3x+2．｝8．方程（不等式）的解集：满足方程（不等式）的解的全体．9．数集：由数组成的集合．比如｛1～20以内的所有质数｝．二、集合元素的性质（1）确定性：任意一个元素和一个集合，它们的关系只有两种：这个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合；（2）互异性：一个给定的集合里面的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的；（3）无序性：集合中的元素是没有顺序的．例1下列所给对象不能构成集合的是（）．A、一个平面内的所有点B、所有大于零的正数C、某校06级的高个子学生D、某一天到商场买过货物的顾客E、世界上最高的山F、世界上的高山P17练习1负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数NZQR自整有实正整数N+数集例2用适当的符号（、）填空：（1）2__N；（2）-1__N；（3）2__Z；（4）0__；（5）43__Q；（6）-2+3__R。三、集合的表示方法1．列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，元素与元素之间用逗号隔开，并用大括号“｛｝”括起来表示集合。比如A={1，3，2，5，4}．2．描述法：在大括号内先写上表示这个集合的一般符号及其取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．比如A=｛x︱0＜x≤5，x∈N｝、A=｛（x，y）︱y=3x+2｝．例3用适当的形式表示下列集合：（1）绝对值不大于3的整数组成的集合；（2）所有被3整除的数组成的集合；（3）方程实数解组成的集合；（4）一次函数y=x+6图像上所有点组成的集合．032532xxx子集的定义：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作BA或AB，读作“A包含于B”或“B包含A.例如，设}2,1{M，}3,2,1{P，则PM或MP.二、集合之间的关系思考：第一小组跟班集体的关系？1.子集规定：空集是任意一个集合的子集．提问：AA是否正确？结论：任何一个集合都是它本身的子集．例2写出集合},,{cba的所有子集.解：},,{cba的所有子集是：，},{a},{b},{c},{ba，},{ca，},{cb，},,{cba.2．相等集合：对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中任何一个元素都是集合A的元素，即BA同时AB，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A=B.思考：三个小组跟班集体的关系？集合相等交集的定义：由既属于集合Ａ又属于集合Ｂ的所有公共元素构成的集合，叫做Ａ与Ｂ的交集，记作BA，读作“BA交”．即BxAxxBA且,|．举例：}8,6{}10,8,6,4{}9,8,6,3{3.交集例3求下列每小题中两个集合的交集.（1）设集合}.,,,{},,,,{fedcBdcbaA（2）设集合}.6,4,2{},5,3,1{BA解：（1）},{},,,{},,,{dcfedcd