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栏目索引课题1实数栏目索引总纲目录基础知识梳理考点一实数的分类考点二实数的有关概念及性质考点三近似数、科学记数法考点四实数的运算及大小比较考点五平方根、算术平方根及立方根栏目索引总纲目录中考题型突破题型一考查实数的基本概念题型二考查科学记数法题型三考查实数的大小比较和估算题型四考查实数的运算栏目索引总纲目录易错一不能正确识别正数与负数易错二不会使用数轴确定符号及绝对值的大小易混易错突破栏目索引河北考情探究考点年份题号分值考查方式1.实数的有关概念与分类2018183以填空题的形式,与乘法公式相结合,考查相反数的概念201763以选择题的形式考查实数的意义201613以选择题的形式考查负数、相反数的概念201673以选择题的形式考查有理数、无理数、二次根式、数轴等概念2016173以填空题的形式考查立方根的概念2.科学记数法201823以选择题的形式考查将用科学记数法表示的数还原201723以选择题的形式考查用科学记数法表示一个小于1的正数河北考情探究栏目索引河北考情探究3.实数的运算2018103以选择题的形式考查倒数、绝对值的知识201713以选择题的形式考查有理数的加、减、乘、除、乘方运算2017208以解答题的形式、以数轴设立问题情境考查有理数的运算201673以选择题的形式考查二次根式的运算4.估算2017194以填空题的形式与一元二次方程相结合估算实数的大小5.非负数的性质2017122以选择题的形式考查算术平方根的非负性等知识备考策略:1.纵观近几年河北省中考试题,对本课题内容的考查多以选择题和填空题的形式呈现,在2017年中考解答题中增加了对本课题内容的考查,作为基本的知识点,考查学生的基本代数运算能力,学生应掌握实数的有关概念,并能熟练地进行实数的混合运算.2.预计2019年中考仍将延续近几年的趋势,侧重于考查学生对实数概念及运算的理解和掌握,不会有繁难的运算.值得注意的是,近几年探索数式规律的问题越来越多,另外,也出现了一些以实数计算为主的应用型问题,对思维深度的考查已经远远超过了运算本身.栏目索引基础知识梳理考点一实数的分类常见的实数分类方法有两种,即按实数的定义分类与按实数的性质分类.(1)按定义分类实数 ① 正整数 整数零负整数有理数正分数② 分数 负分数正无理数无理数③ 负无理数 基础知识梳理栏目索引基础知识梳理(2)按性质分类实数 正整数④ 正有理数 正数正分数正无理数⑤ 零 ⑥ 负整数 负有理数负数负分数负无理数栏目索引基础知识梳理考点二实数的有关概念及性质1.数轴(1)数轴的三要素为⑦原点、正方向和单位长度.(2)数轴上的点与⑧实数一一对应.栏目索引基础知识梳理2.相反数(1)定义:符号⑨不同、绝对值⑩相等的两个数,我们称其中一个数是另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数.(2)性质:实数a,b互为相反数⇔a+b= 0,因此求一个数的相反数,只需在这个数的前面添加一个“-”号.(3)特点:在数轴上,表示互为相反数(0除外)的两个点分别位于 原点两侧且到 原点的距离相等.栏目索引基础知识梳理3.倒数(1)定义:乘积为 1的两个实数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数.(2)性质:实数a,b 互为倒数⇔ab=1,当把任意一个非零实数a看做 的形式时(a没有分母时可看做m=1),求a的倒数只需 颠倒m与n的位置.(3)互为相反数与互为倒数的异同点:nm栏目索引基础知识梳理互为相反数互为倒数相同点相反数与倒数都是成对出现不同点绝对值不同两数的绝对值 相等两数的绝对值一般 不等数量关系不同两数 之和为0两数 乘积为1符号不同非零实数a与其相反数的符号一定相反非零实数a与其倒数的符号一定相同存在范围不同 任意一个实数都有相反数只有 非零实数才有倒数栏目索引基础知识梳理4.绝对值(1)定义:数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.(2)性质:任意一个实数的绝对值都是 非负数,即|a|= ,0;0,0;,0.aaaaa栏目索引基础知识梳理考点三近似数、科学记数法1.一个近似数 四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.2.科学记数法就是把一个数表示成 a×10n的形式,其中1≤|a|10,n为整数.若原数的绝对值大于或等于10,则n为正整数,其值等于原数的 整数位数减1;若原数的绝对值小于1,则n为负整数,其绝对值等于原数从左边起第一个非零数字前 所有零的个数.栏目索引基础知识梳理考点四实数的运算及大小比较1.零次幂、负整数指数幂:若a≠0,则a0= 1;若a≠0,p为正整数,则a-p= .1Pa2.实数运算中常用的运算律加法 乘法 ::()()abbaabcabc加法交换律加法结合律::()():()abbaabcabcabcabac乘法交换律乘法结合律乘法分配律栏目索引基础知识梳理3.实数的运算顺序:先算乘方、开方,再算 乘除,最后算加减;运算中有括号的,先算括号里的;同一级运算从 左到 右依次进行.4.实数的大小比较(1)利用数轴比较实数的大小:数轴上表示数的点,右边的点表示的数大,左边的点表示的数小.(2)利用实数的符号比较大小:正数大于0,负数小于0;两个正数,绝对值大的数较 大,两个负数,绝对值大的数反而 小.(3)利用“作差法”比较两个实数的大小:设a、b为任意两实数,若a-b0,则ab;若a-b=0,则a=b;若a-b0,则ab.(4)利用“乘方法”比较两个实数的大小:设a、b为任意两个正实数,若 (或 ),则a b.ab3a3b栏目索引基础知识梳理考点五平方根、算术平方根及立方根1.平方根:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,记作 ± ,正数有 两个平方根,负数没有平方根,0的平方根为 0.a2.算术平方根(1)正数a的算术平方根记作 ,算术平方根具有双重非负性,即一个数的算术平方根是非负数,算术平方根的被开方数是非负数.(2)算术平方根的性质: =|a|= a2a(0),0(0),(0).aaaaa3.立方根:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,记作 ,正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是 0.3a栏目索引中考题型突破题型一考查实数的基本概念该题型主要考查对具体实数概念的掌握,例如相反数、倒数、绝对值、方根等,这些题相对容易,属于中考中的得分题.中考题型突破栏目索引中考题型突破典例1(2017河北中考)如图为张小亮的答卷,他的得分应是 (B) A.100分B.80分C.60分D.40分栏目索引中考题型突破答案B在数轴上,①∵表示-1的点到原点的距离为1,∴-1的绝对值是1,正确;②∵2× =1,∴2的倒数是 ,不正确;③∵-2+2=0,∴-2的相反数是2,正确;④根据立方根的定义,正确;⑤∵ ×(-1+7)=3,正确.综上可得,张小亮的得分为20×4=80分,故选B.121212名师点拨解决本题的关键是熟练掌握绝对值、相反数、倒数、方根等基本概念,并能利用相关概念解决实际问题,由此也提醒我们,熟练掌握有关概念、定义等是解题的重要基石.栏目索引中考题型突破变式训练1(2018沧州模拟)下列说法:①带根号的数是无理数;②不含根号的数一定是有理数;③无理数是开方开不尽的数;④无限不循环小数是无理数;⑤π是无理数.其中正确的有 (C)A.4个B.3个C.2个D.1个答案C∵ =2,∴ 是有理数,①不正确;∵π是无限不循环小数,是无理数,∴②不正确,而④⑤正确;∵开方开不尽的数都是无限不循环小数,是无理数,∴③不正确,故选C.44栏目索引中考题型突破题型二考查科学记数法该题型主要考查用科学记数法表示较大或较小的数,以及用科学记数法表示的数与原数的关系.典例2(2018邢台模拟)PM2.5是指大气中直径小于或等于0.00000025m的颗粒物,将0.00000025用科学记数法表示为 (A)A.2.5×10-7B.2.5×10-8C.25×10-6D.0.25×10-7答案A∵0.00000025的绝对值小于1,且数字2前面有7个0,∴0.00000025用科学记数法表示为2.5×10-7,对照各选项,选A.栏目索引中考题型突破名师点拨用科学记数法表示数时,需注意两点:①科学记数法的格式具有规定性,因此必须写成a×10n的形式(其中1≤|a|10,n为整数);②当所表示的数带有单位时,一定要看用科学记数法表示前后的单位是否统一,若不统一,一定要先统一单位.栏目索引中考题型突破变式训练2(2017承德一模)据报道,某小区居民李先生改进用水设备,在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300000吨.将300000用科学记数法表示应为(B)A.0.3×106B.3×105C.3×106D.30×104答案B∵300000有6位整数,∴300000=3×105,对照各选项,选B.栏目索引中考题型突破题型三考查实数的大小比较和估算该题型主要考查用“夹逼法”对无理数的大小进行估算,属于河北省的常考题型.典例3(2018石家庄模拟)在(-1)2018,(-3)0, , ,这四个数中,最大的数是 (D)A.(-1)2018B.(-3)0C. D. 92129212栏目索引中考题型突破答案D∵(-1)2018=1,(-3)0=1, =3, =4,且1=134,∴四个数中,最大的数是 .9212212名师点拨比较实数的大小时的主要依据:正数大于0,0大于负数,绝对值较大的正数较大,绝对值较大的负数较小.当某个实数的形式比较复杂时,要先把这个实数化简,再比较大小.栏目索引中考题型突破变式训练3(2017石家庄一模)设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a的四种说法:①a是无理数;②a可以用数轴上的一个点来表示;③3a4;④a是18的算术平方根.其中,所有正确说法的序号是 (C)A.①④B.②③C.①②④D.①③④答案C∵边长为3的正方形的对角线长为a,∴a= = =3 .①a=3 是无理数,正确;②根据实数与数轴的关系,说法正确;③∵161825,∴4 5,即4a5,错误;④根据算术平方根的定义,可知a是18的算术平方根的说法正确,∴说法正确的有①②④.2233182218栏目索引中考题型突破题型四考查实数的运算该题型主要考查实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算或混合运算.典例4(2018秦皇岛模拟)计算: -3tan30°+(π-4)0- .12123答案原式=2 -3× +1- = - .33332312名师点拨本题中的一个运算技巧是“利用倒数的意义计算负整数指数幂”,即在计算 时,根据倒数的意义,可知 是 的倒数,而 的倒数为 ,故可轻松计算出 的值,省略了其中一些较为麻烦的书写过程.123123232332123栏目索引中考题型突破变式训练4(2018唐山模拟)计算:(3.14-π)0+ -2sin45°+3-1-|1- |.82答案原式=1+2 -2× + -( -1)=1+2 - + - +1= .2221322213273栏目索引易混易错突破易错一不能正确识别正数与负数易混易错突破典例1 -2的绝对值是 (B)A. -2B.2- C.2+ D.-2+ 33333易错警示本题是一道易错题,其原因是被( -2)这个数的表面现象所迷惑,因为这个数本身不带有“-”,因而容易误认为( -2)是个正数.33解析因为 2,所以 -20,故| -2|=-( -2)=2- .33333栏目索引易混易错突破典例2如图,下列结论:①m+n0;②m-n0;③mn0;④|m-n|=m-n.其中,正确结论的个数是 (B) A.1B.2C.3D.4易错二不会使用数轴确定符号及绝对值的大小易错