4.1正态分布的概率密度与分布函数

第四章正态分布§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布是最常见因而也是最重要的分布:1.很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述；2.在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布近似计算；3.在非常一般的充分条件下，大量独立随机变量的和近似地服从正态分布；4.数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导得到的.正态分布的概率密度函数.),(~2σμNX记为的概率密度为若连续型随机变量X)(xf,eπ21222)(σμxσ,x,)0(,为常数其中σσμ的服从参数为则称σμX,正态分布或高斯分布.,0)(xf显然.1d)(xxf下面来证明,)(tx令得到xexd21222)(，tetd2122,d22teIt记2Iuteutdd2)(22则有利用极坐标将它化成累次积分,得到2Iπ2002dde2rrr，π2,0I而,π2故有I即有ttde22,π2于是xxdeπ21222)(ttdeπ2122.1性质:.1对称曲线关于x,0h这表明对于任意有}{XhP.}{hXP时取到最大值当x2)(f.π21;3处曲线有拐点在x;4轴为渐近线曲线以x.)(的图形如图所示xf,5如果固定,的值改变Ox则图形沿着轴平移,而不改变其形状,可见正态分布的概率密.)(所确定的位置完全由参数度曲线xfy称为位置参数.,6μ当固定,的大小时改变σ图形的对)(xf称轴不变,而形状在改变,,越小σ图形越高越瘦,,越大σ图形越矮越胖.分布函数为)(xFtxutdeπ21222)(,0当.1服从标准正态分布时称X,)(),(表示分别用其概率密度和分布函数xΦx即有)(x,eπ2122x)(xΦ.deπ2122txt标准正态分布的图形证明.)(1)(xΦxΦ证明xxxdeπ2122)(xΦxxxdeπ2122xxdeπ2122，xxxdeπ2122.)(1xΦ标准正态分布分布函数的性质;5.0)0(;1)().(1)(xx[例1]设X服从标准正态分布,)1,0(N求);96.1()1(XP).5.26.1()2(XP解：)96.1(XP)96.1(;975.0)5.26.1(XP)6.1()5.2()]6.1(1[)5.2()6.1(1)5.2(9452.019938.0.9390.0)1()2(正态分布概率的计算)(xF}{xXP?原函数不是初等函数tσxσμtdeπ21222)(方法一:利用MATLAB软件包计算方法二:转化为标准正态分布查表计算定理,),(~2NX若Z证的分布函数为XZ}{xZPX.)1,0(~NxXP}{xXP，txtdeπ21222)(,ut令得则}{xZPuxudeπ2122)(xΦ由此知XZ.)1,0(~N,],(21xx则对于任意区间有}{21xXxP21xXxP.12xΦxΦ[定理],),(~2NX设[例2]设随机变量X服从正态分布,)2,1(2N求概率).4.26.1(XP解：)4.26.1(XP)216.1()214.2()3.1()7.0()]3.1(1[)7.0()9032.01(7580.0.2166.0?01.0,)2(165)1()cm:()6,170(~2车门顶碰头的几率小于使男子与车门的高度问应如何设计公共汽车的比例；求成年男子身高大于单位高设某城市成年男子的身cmNX例361701656170}165{XPXP)83.0(.7967.0解（1）)83.0(1,)6,170(~)2(2NX由题设知}{1}{lXPlXP617061701lXP)6170(1l,01.0.99.0)6170(l即,33.26170l查表得.)cm(98.183l故[例4]设随机变量X服从正态分布,),(2N在区间),(kk内的概率，这里.,3,2,1k解：)(kXP)(kXkP)()(kk)()(kk)](1[)(kk,1)(2k.,3,2,1k求X落查附表2得)(XP1)1(2,6826.0)2(XP1)2(2,9544.0)3(XP1)3(2.9973.0说明：若,),(~2NX则)3(XP)3(1XP9973.010027.0.003.0由此可知X落在)3,3(之外的概率小于3‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间这一原理叫做“三倍标准差原理”).3(法则或可能的取值)3,3(看作是随机变量X的实际区间.1.正态分布),(2N的概率密度：,eπ21)(222)(xxf.x2.标准正态分布)1,0(N的概率密度与分布函数：)(x,eπ2122x.x小结.eπ21)(22dtxΦxt若随机变量,),2(~2NX且,3.0)42(XP则.______)0(XP解：已知,),2(~2NX则有)22()24()42(XP)0()2(5.0)2(3.0)22()0(XPXP)2()2(1.2.08.01由此可得,8.0)2(答：应填0.2.从而思考题