第7章热传导

有内热源存在时的热传导方程为式(6-27a)在不同坐标系的一般形式如下：直角坐标系：柱坐标系：球坐标系：求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获得温度t与时间θ及位置(x,y,z)的函数关系，即不同时刻温度在空间的分布(温度场)。所得的解为t=f(θ,x,y,z)，它不但要满足式(7-1)或式(7-2)、式(7-3)，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件。akqtt276.............1217...........1222222kqztytxtt27..........11122222kqzttrrtrrrt37..........sin1sinsin1112222222kqtrtrrtrrrt第一节稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导对于无内热源的一维稳态热传导，已知条件又设沿x或r方向进行一维导热，则代入热传导方程式(7-1)～式(7-1)，可简化为一维的Laplace方程，直角坐标系柱坐标系球坐标系0,0qt0,0,0,0,022222222tttztyt47...........0dd22xt5.70.........ddddrtrr6.70.........dddd2rtrr(一)单层平壁一维稳态热传导单层平壁一维稳态热传导，当热导率k为常数时，式(7-4)即为描述该导热过程的微分方程，即设边界条件为将式(7-4)积分两次，可得代入边界条件，可得将C1、C2代入式(7-7)，得温度分布方程，即由式(7-8)可知，平壁稳态热传导过程的温度分布为一直线。47...........0dd22xt21:2:01ttbxttx77...........21CxCtbttCtC12112,87...........211xbtttt根据Fourier定律，通过x处的导热通量将式(7-8)对x求导，得代入式(7-9)，得或由式(7-10)可知，热通量q/A和传热速率q是与x无关是常量。97...........ddxtkAqbttxt21dda107...........热阻推动21力kAbttq107...........21ttbkAq(二)单层筒壁的稳态热传导若筒壁很长，即Lr，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化。对于无内热源的单层筒壁的一维稳态热传导，可用式(7-5)表征热传导方程，即设边界条件为对式(7-5)积分两次，可得代入边界条件，可得5.70.........ddddrtrr2211:2:1ttrrttrr117...........ln21CrCt112121212121lnln,lnrrrtttCrrttC将C1、C2代入式(7-11)，得温度分布方程，即式(7-12)表明，通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温度分布是半径r的对数函数。•通过半径为r的筒壁处的传热速率或热通量的计算柱坐标系的Fourier定律，即q—半径r处的导热速率；q/Ar—半径r处的热通量；r—径向坐标；dt/dr—r处的温度梯度；L—筒壁长度；Ar—半径r处导热面积，。导热面积Ar是半径r的函数。127...........lnlnlnlnlnln1122111121211212rrrrtttrrrtttrrrtttartkAqrtkAqrr137...........dd,137...........ddrLAr2将式(7-12)对r求导,得：代入式(7-13)，得即式(7-14)即为单层筒壁的导热速率方程。传热速率q与半径r无关，是常量。由式(7-14)可得单位筒长导热速率，即单位筒长导热速率与半径r无关，是常量。rrrttdrdt1/ln1212137...........1/ln2dd1212rrrttrLkrtkAqr147............/ln21221rrttkLqbrrttkLq147............/ln21221代入式(7-13a),得即由式(7-14a)可知，热通量q/Ar随半径r而变。由式(7-14)，即可知，传热速率q与半径r无关，是常量，亦即或arrrttkrtkAqr137...........1/lndd1212arrttrkAqr147........./ln1221157........2222211constLrAqLrAqLrAqqrr167........2211constrAqrAqrAqrr147............/ln21221rrttkLq式(7-14)亦可写成与平壁导热速率方程式(7-10)相类似的形式，即式(7-17)与式(7-14)对比可知或式中rm—筒壁的对数平均半径；Am—筒壁的对数平均面积。当时，对数平均值近似等于算术平均值，即177.........1221rrttkAqm147............/ln21221rrttkLq187............2/ln21212LrLrrrrAmmaAAAALrLrLrLrAm187............ln22ln2212121212212rr2ln,2/ln121212121212AAAAAAArrrrrrrmm107...........21ttbkAq二、有内热源的一维稳态热传导若柱体很长，即Lr，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化。对于有内热源的柱体沿径向的一维稳态热传导，柱坐标系的能量方程式(7-2)，即可简化为式(7-19)为具有内热源、沿径向做一维稳态热传导的能量方程。若内热源均匀，则为常数。27..........11122222kqzttrrtrrrt01kqrtrrr19.70.........dddd1kqrtrrrq对式(7-19)进行一次积分，得再积分一次，得由边界条件可确定积分常数C1、C2，代入式(7-21)求得柱体内的温度分布。207............2dddddd1rCrkqrtrrkqrtr217............ln4dd2ddd2d21211CrCrkqtrrCrrkqtrrCrrkqt[例7-4]有一半径为R、长度为L的实心圆柱体，其发热速率为，圆柱体的表面温度为ts，LR，温度仅为径向距离的函数。设热传导是稳态的，圆柱体的热导率k为常数，试求圆柱体内的温度分布及最高温度处的温度值。解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为依题意，设边界条件为由边界条件(2)可得q217............ln4212CrCrkqtRrsrtRLkLRqRrttRrdd2:2:12kRqrtRr2dd将上式代入式(7-20)，即并取r=R，即得故将及边界条件(1)代入式(7-21)，得207............2dd1rCrkqrtrCRkqrtRr12ddrCRkqRkq12201C01C22222124,4217............ln4RkqtCCRkqtCrCrkqtss最后得到温度分布方程为由于圆柱体向外导热，最高温度应在圆柱体中心处，即上两式联立得温度分布方程，无量纲形式为224rRkqttskRqttttsr4200max201Rrttttss三、二维稳态热传导对于无内热源的二维稳态热传导，已知条件为代入热传导的基本微分方程式(7-1),即得该式为无内热源的二维稳态热传导微分方程(二维Laplace方程)。根据式(7-22)求出的温度分布t=f(x,y)为一连续曲面，若将连续变化的偏微分方程用差分方程近似表达，则可通过数值计算法求出温度分布。17...........1222222kqztytxtt0,0,0,022ztzttq227...........02222ytxt(一)物体内部的结点温度方程将物体分割成若干个由组成的小方格，分割线的交点称为结点。及的长度根据计算精度的要求选取。xyyx、xttxtjijiji,,1,21xttxtjijiji,1,,21yttytjijiji,1,,21,yttytjijiji1,,,21,2,,1,1,21,21222,xtttxxtxtjixtjijijijiji2,1,1,21,21,222,ytttyytytjiytjijijijiji将式(7-22)近似地写成差分形式，即令，则有该式称为物体内部的结点温度分布方程，它表示任一结点(i,j)的温度ti,j与邻近4个结点温度之间的关系，即为邻近4个结点温度的算术平均值。0220,,227...........02,1,1,2,,1,122222222ytttxtttjiytjixtytxtjijijijijijiyx237........04,1,1,,1,1jijijijijittttt(二)物体边界上的结点温度方程处于物体表面的结点，由于外界的影响，其温度不能用式(7-23)来表达，需要根据具体情况来建立。1.绝热边界取垂直纸面的距离为单位长度。对虚线包围的微元作热量衡算，得令，则有022,1,,1,,,1xyttkxyttkyxttkjijijijijijiattttjijijiji247.........042,,11,1,yx2.一般对流边界设周围流体的主体温度为tb，且维持不变，微元体表面与流体之间的对流传热系数为h，亦维持不变，对虚线包围的微元作热量衡算，得令，则有即)(22,1,,1,,,1,bjijijijijijijittyhxyttkxyttkyxttkyxbtkxhtkxhtttbjijijiji247..............)2()2(21,1,1,,1bjijijijitkxhtkxhttt2222,1,1,,13.对流边界上的外角对虚线包围的微元作热量衡算，得令，则有整理得)(2)(222,,,1,,,1bjibjijijijijittxhttyhxyttkyxttkyxctkxhtkxhttbjijiji247..............2)1(2,1,,1)(22,,1,,1bjijijijittkxhttt4.对流边界上的内角对虚线包围的微元作热量衡算，得令，则有整理得2)(2)(22,,,,1,1,,1,,,1