北大随机信号分析基础课件-1.7-常见分布

1.7常见分布1.7.1常见的离散型分布一.两点分布如果随机变量X的分布为则称X服从两点分布，也称为贝努里分布。当a、b分别为0、1时，称这种分布为0－1分布。XPab1－pp二.二项分布设随机试验E只有两种可能的结果且将E独立地重复n次，那么在n次试验中事件A发生m次的概率为称为二项分布。AA,qpAPpAP1)(,)(nmqpCmPmnmmnn0)(三.泊松分布设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,且分布密度为则称X服从泊松分布。0;,2,1,0!}{kekkXPk1.7.2常见的连续分布一.均匀分布设连续型随机变量X在有限区间[a,b]内取值，且其概率密度为则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。elsebxaabxfX01)(随机变量X的分布函数为bxbxaaxabaxxFX10)(12)(;222abbamXX1)一维高斯分布高斯变量X的概率密度为：222)(21)(mxXexf二.高斯分布概率分布函数)(21)(22mxdtexFmxtX对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量。即令，归一化后的概率密度为2221)(yYeyfmXY服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量X，其特征函数为22)(eX服从的高斯变量Y，其特征函数为),(2YYmN222)(YYmjYe（1）已知X为高斯变量，则Y=aX+b（a,b为常数）也为高斯变量，且222XYXYabamm特点：（2）高斯变量之和仍为高斯变量。例：求两个数学期望和方差不同且互相独立的高斯变量X1,X2之和的概率密度。推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布。即若Xi服从，则其和的数学期望和方差分别为niiXY1),(2iimNniiYniiYmm1221若有大量相互独立的随机变量的和其中每个随机变量Xi对总的变量Y的影响足够小时，则在一定条件下，当时，随机变量Y是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布律无关。niiXY1n（3）中心极限定理结论：任何物理过程，如果它为许多独立作用之和，那么这个过程就趋于高斯分布。2）二维高斯分布设X是均值为，方差为的正态随机变量，Y是均值为，方差为的正态随机变量，且X,Y的相关系数为，则二维随机变量(X,Y)为一个二维正态随机变量，其联合概率密度函数为Xm2XYm2YXYr)1(2)())((2)(22222222121),(XYYXYXYXYXXYXYrmymymxrmxXYYXeryxf设n维随机变量向量为Y，数学期望和方差向量为m和s，它们具有如下形式：Y=m=s=nYYY21nmmm2122221n协方差矩阵CC=nnnnnnCCCCCCCCC212222111211则n维联合概率密度函数为2)()(2121)2(1)(myCmynTeCyf三.分布1)中心分布若n个互相独立的高斯变量X1,X2,…,Xn的数学期望都为零，方差为1，它们的平方和的分布是具有n个自由度的分布。22niiXY122其概率密度为0)2(21)(2122yeynyfynnYdtetxtx01)(当互相独立的高斯变量Xi的方差不是1，而是时，Y的概率密度为20)2()2(1)(221222yeynyfynnY性质：两个互相独立的具有分布的随机变量之和仍为分布，若它们的自由度分别为n1和n2，其和的自由度为n=n1+n2。222)非中心分布若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的方差为，数学期望为，则为n个自由度的非中心分布。22imniiXY122其概率密度为称为非中心分布参量0)()(21)(21224222yyIeyyfnynYniim1202)1(!)2()(mmnnmnmxxI性质：两个相互独立的非中心分布的随机变量之和仍为非中心分布，若它们的自由度为n1和n2，非中心分布参量分别为和，其和的自由度为n=n1+n2，非中心分布参量为221221四.瑞利分布和莱斯分布1)瑞利分布对于两个自由度的分布，即Xi(I=1,2)是数学期望为零，方差为且相互独立的高斯变量，则为瑞利分布。22221XXY22221XXYRR的概率密度为0)(2222rerrfrR对n个自由度的分布，若令则R为广义瑞利分布2niiXYR120)2(2)(2222)2(1renrrfrnnnR2)莱斯分布当高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的数学期望为不为零时，是非中心分布，而则是莱斯分布。imniiXY122YR对于任意n值有0)()(212222222rrIerrfnrnnR