特征值与特征向量1

特征值和特征向量的基本概念定义5.1设A是复数域C上的n阶矩阵，如果存在数C和非零n维向量x，使得Ax=x则称为A的特征值,x为A的属(对应)于特征值的特征向量。如何求特征值和特征向量:特征向量x是齐次线性方程组(IA)x=0的非零解。应满足|IA|=0即是多项式det(IA)的零点。定义5.1设n阶矩阵A=(aij),则nnnnnnaaaaaaaaaAIAIf212222111211det)(称为A的特征多项式.(IA)称为A的特征矩阵,|IA|=0称为A的特征方程.n阶矩阵A的特征多项式在复数域上的n个根都是矩阵A的特征值，其k重根叫做k重特征值。如何求特征值及特征向量?(1)计算特征多项式(2)求出的全部根(3)对于每个,求的全部非零解。AIf)(0)(fn,...,,21i0xAIi例２求矩阵022242220A的特征值及特征向量。例１n阶对角矩阵A，上(下)三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元a11,a22,,ann。解：A的特征方程为2224222AI022)(A的特征值为:1=0,2,3=2。000022242220321xxx000222222222321xxx对于1=0，求解(0IA)x=0，即得基础解系：x1=(1,1,1)T。kx1(k0为任意常数)是A的属于1的全部特征向量。对于2,3=2,求解(-2IA)x=0,即得基础解系：x2=(1,1,0)T,x3=(1,0,1)T。k2x2+k3x3（k2,k3是不全为零的任意常数）是A关于2,3的全部的特征向量。2224222AI例设向量,都是方阵对应于特征值的特征向量，又向量，求10102121,A1221A221A解:定理5.1若x1,x2是A属于0的两个的特征向量，则k1x1+k2x2也是A属于0的特征向量(其中k1,k2是任意常数，但k1x1+k2x20).(IA)x=0的解空间称为A的关于的特征子空间，记作V。dimV=nr(IA)={k1x1+k2x2|x2=(1,1,0)T,x3=(1,0,1)T,k1,k2R}=L((1,1,0)T,(1,0,1)T)特征值和特征向量的性质1V2V如例２中，={kx|x=(1,1,1)T,kR}=L((1,1,1)T);定理5.2若n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为1,2,,n，则nii12A)(niiia1称A的主对角元的和为A的迹，记作tr(A)。niniiiia111)(性质1若是A的特征值,x是A的属于的特征向量。则(1)k是kA的特征值（k为任意常数）；(2)m是Am的特征值;(3)若A可逆，则1为A1的一个特征值，而x仍然是矩阵kA,Am和A1的分别对应于特征值k,m和1的特征向量。证明性质2矩阵A和AT的特征值相同。111222111A111222111AI例3设解(1)022)(A的特征值为:1，2=03=2。(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P,使P1AP为对角阵。对于1,2=0，求解(1IA)x=0，即000111222111321xxx得基础解系：x1=(1,1,0)T,x2=(1,0,1)T,则k1x1+k2x2(k1,k2不全为0)是A的属于1的全部特征向量。则AP=P,且|P|0,所以，P1AP=为对角矩阵。000111202113321xxxA的属于2的全部特征向量为k3x(k30为任意常数)。对于3=2，求解(2IA)x=0,即得基础解系：x3=(1,2,1)T(2)将Axi=ixi(i=1,2,3)排成矩阵321321321000000),,(),,(xxxxxxA,),,(110201111321xxxP取200000000Λ1、设3阶矩阵的特征值为1，-1，2，求。IAA23*A2、设矩阵满足方程，证明矩阵可逆。A0232IAAAI3方阵A的多项式的特征值已知f(x)=amxm+am-1xm-1++a1x+a0是个多项式。则f(A)=amAm+am-1Am-1++a1A+a0I称为方阵A的多项式。若A的特征值是λ，则f(A)的特征值是f(λ)。见P250/28。相似矩阵及其性质定义5.3对于矩阵A,B，若存在可逆矩阵P，使P1AP=B,则称A相似于B，记作AB。矩阵的相似关系是一种等价关系，具有以下性质：自反性；对称性；传递性。相似矩阵还有以下性质：(1)C1(kA+tB)C=kC1AC+tC1BC(k,tF);(2)C1(AB)C=(C1AC)(C1BC);(3)若AB，则AmBm（m为正整数）；(4)若AB，则f(A)f(B)，其中f(x)=amxm+am-1xm-1++a1x+a0是个多项式。f(A)=amAm+am-1Am-1++a1A+a0I(aiF,i=0,1,,m)，f(B)=amBm+am-1Bm-1++a1B+a0I。定理5.4若矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相等，即IA=IB从而A,B有相等的特征值。注意：此定理的逆命题不成立。例如：20122002BA,若A与对角阵相似呢？的另一特征值。的特征值，求是矩阵设例AaaA210102010104;。另一特征值为答：21,a.;.cnAcEAccnAn1320151-个元素之和为中每行上不可逆；试证：个元素之和均为的每行上阶可逆矩阵设例的一个特征值。是是奇数，那么，且如果的一个特征值；是，那么如果；或的特征值为证明：阶正交矩阵是一个设例AnAAAAnA1131-1-21-116,