因式分解讲解

因式分解是这学期期中考试和期末考试的重点，也是初二学分式，初三学一元二次方程及二次函数的基础，所以一定要掌握好。因式分解的方法与技巧一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。例1、因式分解32422baba解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），则32422baba=)12()44(14242222bbaababa=)3)(1()1()2(22bababa例2、因式分解611623xxx解析：根据多项式的特点,把26x拆成2242xx；把x11拆成xx38则611623xxx=)63()84()2(223xxxxx=)3)(2)(1()34)(2()2(3)2(4)2(22xxxxxxxxxxx二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。例3、因式分解444yx解析：根据多项式的特点,在444yx中添上22224,4yxyx两项，则444yx=2222224224)2()2(4)44(xyyxyxyyxx=)22)(22(2222yxyxyxyx例4、因式分解4323xx解析：根据多项式的特点，将23x拆成224xx，再添上xx4,4两项，则4323xx=4444223xxxxx=)1)(44()44()44(222xxxxxxxx=2)2)(1(xx三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。例5、因式分解24)6)(43(22xxxx解析：24)6)(43(22xxxx=24)3)(2)(4)(1(xxxx=24)12)(2(24)4)(3)(2)(1(22xxxxxxxx设22xxy，则10122yxx于是，原式=)62)(42()6)(4(241024)10(222xxxxyyyyyy=)8)(3)(2()8)(6(222xxxxxxxx例6、因式分解2)1()2)(2(xyyxxyyx解析：设nxymyx,，则2)1()2)(2(xyyxxyyx=2)1()2)(2(nmnm=1)(2)(1222222nmnmnmnmnm=22222)1()1()1)(1()1()1(yxyxxyyxnm四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。例7、因式分解)()(2222nmxyyxmn解析：将多项式展开再重新组合，分组分解)()(2222nmxyyxmn=2222xynxymmnymnx=))(()()()()(2222nymxmynxmynxnymynxmxxynmnyxymmnx例8、因式分解22)()(mynxnymx解析：22)()(mynxnymx=2222222222ymmnxyxnynmnxyxm=)()()()(22222222222222nmynmxynymxnxm=))((2222yxnm五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。例9、因式分解xyxyxxx2232234解析：将多项式以y为主元，进行整理xyxyxxx2232234=)23()2(2342xxxyxx=))(2()1)(2()2(22yxxxxxxxyxx例10、因式分解abcbccbaccaabba2222222解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理abcbccbaccaabba2222222=)()2()(222cbbccbcbacba=)()()(22cbbccbacba=))((])()[(22bcacabacbbccbaacb=))()(()]()()[(cbcababacbaacb从以上几例可以看出，因式分解题型众多，方法灵活，有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思维，有效地激发学生的学习兴趣。巧用提公因式解题提公因式法是分解因式的基本方法，借助提公因式法可解决许多有关的题目，一起看看.一、利用提公因式简化计算例1计算：0.23×255+3.65×23-2.3×27.5+0.23×655.分析：观察算式含有小数，分别计算有效麻烦，如果能将算式适当变形可得到各项都有公因数0.23，可将0.23提出，简化运算.解：0.23×255+3.65×23-2.3×27.5+0.23×655=0.23×255+0.23×365-0.23×275+0.23×655=0.23×（255+365-275+655）=0.23×1000=230.二、利用提公因式变形求值例2已知a-b=-1，c-b=1，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.分析：本题若直接求出a，b，c的值比较困难，若将要求值多项式重组，并提公因式，可采用整体代入法求值.解：因为a-b=-1，c-b=1，所以a-c=-2，所以a2+b2+c2-ab-bc-ac=(a2-ab)+(b2-bc)+(c2-ac)=a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=-a-b+2c=c-a+c-b=2+1=3.三、利用提公因式比较大小例3设abcd，如果x=ca-ab,y=cd-bd,试比较x、y的大小.分析:要比较x、y的大小，可以通过作差的方法比较x-y与0的大小，当x-y0时,xy;当x-y0时,xy;当x-y=0时,x=y.解：x-y=(ca-ab)-(cd-bd)=a(c-b)-d(b-c)=(a+d)(c-b)因为abcd，所以a-d0,c-b0,所以(a-d)(c-b)0,所以x-y0,所以xy.四、利用提公因式说明整除例4说明257-512能被600整除.分析：本题可利用提公因式法将257-512写成数字积的形式，并让其一个因数为600，这样就可以说明257-512能被600整除.解：257-512=512(52-1)=512×24=510×25×24=600×510，所以257-512能被600整除.因式分解常见错误分析一、提公因式法中的错误1.符号处理失误例1分解因式：xxx15351023误解：原式)372(52xxx分析：多项式的首项带有负号时，在解题时可先提出负号，使括号内第一项系数为正，再提公因式。正解：原式)153510(23xxx)372(52xxx2.有而不提例2分解因式：24xx。误解：原式))((22xxxx分析：如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式，但这里没有先提公因式2x，导致原式分解后括号里仍有公因式。正解：原式)1(22xx)1)(1(2xxx3.忽略系数例3分解因式：abcabcbca9123232误解：原式)9123(2cacabc分析：系数也是因式，分解时要提取各项系数的最大公因数。正解：原式)34(32cacabc4.提后丢项例4分解因式：xyyxyx363232误解：原式)2(32yxxxy分析：提公因式时易犯提后丢项的错误，认为把3xy提出来后，该项就不存在了，实际应为133xyxy。正解：原式)12(32yxxxy二、运用公式中的错误1.不理解公式中字母的含义，错用公式例5分解因式：2249yx。误解：原式)49)(49(yxyx分析：对平方差公式))((22bababa中a、b未理解其含义。公式中的a、b应分别为3x和2y。正解：原式)23)(23(yxyx2.不记公式特点，乱用公式例6分解因式：mamama126323误解：原式)42(32aama2)2(3ama分析：对完全平方公式的特点认识不足，以至把422aa误认为是完全平方式。正解：原式)42(32aama3.思维有局限，复杂式子中不会用公式例7分解因式：4)(4)(2nmnm许多同学对此题束手无策，或误解为原式4)4)((nmnm分析：公式中的字母可以表示任何数、单项式或多项式。要避免把公式中的字母看成一个数的局限性。正解：原式2)2(nm三、分解不彻底分解不彻底是分解因式时最容易犯的错误，应注意分解因式要分解到每个因式不能再分解为止。例8分解因式2224)1(mm误解：原式)21)(21(22mmmm分析：分解出来的因式，没有继续分解彻底。正解：原式)21)(21(22mmmm22)1()1(mm总之，因式分解的错误原因很多，要认真审题，深刻理解公式，牢记分解方法，并能灵活运用。以下口诀同学们在分解过程中不妨试一试，希望对你有所帮助：首项有负常提负，各项有公先提公；某项提出莫漏1，公式特点要牢记；各个因式看仔细，括号里面分到“底”。因式分解几个典型难题因式分解的难题除了应掌握教材中的分解因式的方法（提公因式法、公式法）外，还需要掌握十字相乘法、分组分解法、配方法、公式法中的立方和(差)公式[即3a+3b=(a+b)(2a－ab＋2b)3a－3b＝（)ba(22baba)]。下面例析几道因式分解的难题，以帮助同学们学习因式分解和拓展同学们的思路。一、直接考因式分解这类题，无外乎就考因式分解的几种方法，试题比平时稍难一点而已。只要同学们认真观察，勤加练习，解起来问题都不会很大。例1、已知(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)可因式分解成(axb)(8xc)，其中a、b、c均为整数，则abc=？A．12B．32C．38D．72分析：将给出的多项式运用提公因式法进行因式分解，再根据多项式相等就可求出a、b、c的值。解：(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)=(13x17)（19x31－11x＋23）＝(13x17)（8x－８）。所以a＝13、b=－１７、c＝－８．所以abc=－１２．选Ａ．例2、分解因式2x－x2－22y＋y4－xy=____．分析:此题没有公因式，而且超过了三项，所以应考虑分组分解法。象这种五项的，一般按照“三、二”项分组即可，如果不成，再考虑其它分组方法。注意分组后一定要考虑下一步能够再分，直至将多项式分解成几个整式的乘积为止。解：2x－x2－22y＋y4－xy＝（2x－xy－22y）－（x2－y4）＝（x－y2）（x＋y）－２（x－y2）＝（x－y2）（x＋y－２）例3、把代数式（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）2分解成因式的乘积，应当是________.分析：粗看这个多项式，采用哪种方法都不能分解因式。怎么办呢？那就将多项式进行整理，看能不能分解。对于这类题一般都如此处理。解：原式＝［（x＋y）－２xy］［（x＋y）－２］＋22yx－２xy＋１＝2)(yx－)(2yx－)(2yxxy＋４xy＋22yx－２xy＋１＝2)(yx－))(1(2yxxy＋2)1(xy＝2)1(xyyx＝2)1()(yxyx=22)1()1(yx二、利用因式分解计算例4、计算：1995×1