2.3.4平面向量共线的坐标表示

ABC三点A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）共线能用坐标表示吗？新课导入2.3.4平面向量共线的坐标表示xyOP1P2P问题：共线向量如何用坐标来表示呢？设其中是非零向量,那么可以知道，共线（平行）的充要条件是存在一实数λ，使1122a=(x,y),b=(x,y)ba,ba=λb1221a//bxy-xy=0上面这个结论如果用坐标表示，可写为（x1，y1）=λ(x2，y2)即1212x=λxy=λy（2）不能写成1212yy=xx。这就是说，当且仅当1221xy-xy=0时，向量共线（平行）。a,b(b0)（1）消去λ时不能两式相除;注:ab例1：已知=(3，5)，=(2，y)，且ab，求y.∥解:a//b3y-52=010y=3例2：若向量与共线且方向相同，求x.(5,)ax(,10)bx∴(-5)×10-x•(-x)=0∴x=±52ab与方向相同∴x=52解：与共线∵a=(-5,x)b=(-x,10)例3、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），判断A、B、C三点的位置关系。ABC解：在平面直角坐标系中作出A,B,C三点观察图形，我们猜想A,B,C三点共线。AB113124AC21,513,626340ABACABACAABC∥，，又××直线、直线有共同点。∴、、三点共线例4：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(x,y),(x,y)xyOP1P2P(1)M1212121OP=OM21=(OP+OP)2x+xy+y=(,)22解：（1）所以，点P的坐标为1212x+xy+y(,)22xyOP1P2P(2)（2）如图2，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即1122PPPP1==2PP2PP或12PP1=PP2如果，那么11112121121OP=OP+PP=OP+PP3121=OP+(OP-OP)=OP+OP33312122x+x2y+y=(,),33即点P的坐标是12122x+x2y+y(,).331212x+2xy+2y(,).33同理，如果，那么点P的坐标就是212PPPP例4中，当时，点P的坐标是什么？12PP=λPPxyOP1P2P(3)12PP=λPP如果，那么解：11112λOP=OP+PP=OP+PP1+λ11112121121212λOP=OP+PP=OP+PP1+λλ1λ=OP+(OP-OP)=OP+OP1+λ1+λ1+λx+λxy+λy=(,)1+λ1+λ1212x+λxy+λy(,).1+λ1+λ∴点P的坐标是1212x+λxx=1+λy+λyy=1+λ即为定比分点坐标公式.即向量平行(共线)充要条件的两种形式:11221221(2)a//b(a=(x,y),b=(x,y),b0)xy-xy=0(1)a//b(b0)a=λb;课堂小结高考链接1（2008全国）设向量a=（1，2），b=(-1,2)。若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=_________2解析：由（λa+b）∥c得，-7（λ+2）=-4（2λ+3），进而解得λ=2(),(4,7),abc1、若向量与的方向相反，则m的值是．a=(2,m)b=(m,8)－42、已知是一对不共线的非零向量，若共线，则λ=。12e,e1212a=e+λe,b=-2λe+e,且a,b22课堂练习a=(3,4),b=(sinα,cosα),a//btanα=________344334343、已知向量且，则A．B．C．D．A4.已知，则x等于（）a=(-1,3),b=(x,-1),且a//bA．3B．C．－3D．1313B5、三点A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）共线的充要条件是（）A．x1y2-x2y1=0D．(x2-x1)(x3-x1)=(y2-y1)(y3-y1)C．(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)B．x1y3-x3y1=0C6、设31a=(,sinα),b=(cosα,),23且a//b,则锐角α为（）A．30°B．60°C．45°D．75°C7、已知a=(1,2),b=(x,1),当a+2b与2a-b共线时，x值为（）D．C．B．2A．11312D即共线AB,BC解法一：∵要使A、B、C三点共线AB=λBC∴存在实数λ使得即i-2j=λ(i+mj)λ=1λm=-2于是AB=i-2j,BC=i+mj,8、如果向量其中分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.i,j∴即m=－2时，A、B、C三点共线.BC=(1,0)+m(0,1)=(1,m)解法二：依题意知：i=(1,0),j=(0,1),AB=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),则AB,BC而共线∴故当m=－2时，A、B、C三点共线∴１×ｍ－１×（－２）＝09、已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，ABCD向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2－4×1=0∴ABCD∥又∵AC=(1－(-1)，5－(-1))=(2，6)AB=(2，4)，2×4-2×60ACAB∴与不平行∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD1、(1)a+b=(3,6),a-b=(-7,2);(2)a+b=(1,11),a-b=(7,-5);-2a+4b=(-6,-8),4a+3b=(12,5);2、3、(1)AB=(3,4),BA=(-3,-4);(2)AB=(9,-1),BA=(-9,1);(3)a+b=(0,0),a-b=(4,6);(4)a+b=(3,4),a-b=(3,-4);教材习题答案(3)ΑΒ=(0,2),ΒΑ=(0,-2);(4)AB=(5,0),BA=(-5,0);4、AB//CD：AB=(1,-1),CD=(1,-1),AB=CD.AB//CD.证明所以所以5、(1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5).6、1014(,1)(,-1).33或7、解：设P(x,y)，由点P在线段AB的延长线上，且3AP=PB,22x-4=3x-122y-6=3y+9即得3(x-2,y-3)=(x-4,y+3),2解得x=8y=-15.所以点P的坐标为（8，-15）.