华东师范大学-数学分析-第18章习题解答

1第十八章隐函数定理及其应用§1隐函数1.方程xyeyxsincos能否在原点的某邻域内确定隐函数xfy或ygx?分析:隐函数是否存在只须验证题目是否满足隐函数存在定理的条件.解令xyeyxyxFsincos,,则有(1)yxF,在原点的某邻域内连续;(2)00,0F;(3)xyyxyxxeyFyexFcos,sin均在原点的上述邻域内连续;(4)00,0,010,0xyFF.故由隐函数存在定理知,方程xyeyxsincos在原点的某邻域内能确定隐函数xfy.2.方程1lnxzeyzxy在点1,1,0的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数?分析:本题的解题思路与1题一样.解令1ln,,xzeyzxyzyxF,则(1)zyxF,,在点1,1,0的某邻域内连续;(2)01,1,0F;(3)xzzyxzxxeyFyzxFzeyFln,,均在原点的上述邻域内连续;(4)01,1,0,011,1,0,021,1,0zyxFFF.故由隐函数存在定理知,方程1lnxzeyzxy在点1,1,0的某邻域内能确定隐函数zyfx,和zxgy,.23.求出下列方程所确定的隐函数的导数:(1)043342yxyx,求dxdy;(2)xyyxarctanln22,求dxdy;(3),02zxyeze求yxzz,;(4)0,2222aayaxuyeyaau,求22,dxyddxdy;(5)05422222zyxzyx,求yxzz,;(6)xyzzyxfz,,求zyyxxz,.分析:求隐函数的导数(偏导数)通常有三种方法:①用隐函数求导公式;②对所给方程(组)两边直接求导(偏导数);③用全微分.另一种方法是将隐函数显化(如果可能而且又方便的话),但一般来说这种方法是不行的,只有在特殊条件下才可能使用.解(1)解法1令43,342yxyxyxF,则33122yxxyFx,2429yxxFy,所以.91222332yxxyxyFFdxdyyx解法2方程两边对x求导,得0912224332dxdyyxyxdxdyxxy,解得23329122yxxyxydxdy.(2)解法1令xyyxyxFarctanln,22,则222222yxyxyxyyxxFx,222222yxxyyxxyxyFy,所以yxyxyxFFdxdyyx.解法2方程两边对x求导,得222222112221xydxdyxxyyxdxdyyxyx,整理得32222yxydxdyxyxdxdyyx,所以yxyxyxdxdy.解法3方程两边分别微分,得2222yxydxxdyyxydyxdx,解得yxyxyxdxdy.(3)解法1设zxyezezyxF2,,,则zzxyyxyxeFxeFyeF2,,,所以2;2zxyzyyzxyzxxexeFFzeyeFFz.解法2方程两边分别对yx,求偏导,得:02,02yzyxyxzxxyzezxezezye,所以2;2zxyyzxyxexezeyez.解法3方程两边微分,得02dzedzxdyydxezxy,即dyxedxyedzexyxyz2,所以dyexedxeyedzzxyzxy22,由全微分公式得2;2zxyyzxyxexezeyez.(4)令ayaxyeyaayxF2222,,则2222,yaayyeeyayFeayFuuyux,于是222222222222yayyayaayyyaaayaayyaaFFdxdyyx,222222222222yayayadxdyyayydxdyyadxdydxddxyd.4(5)令5422,,22zyxyxzyxF,则22,12,12zFyFxFzyx,所以21,21zyzzxFFzyzxx.(6)把z看成yx,的函数,方程两边对x求偏导数,则有21212111xyffyzffzzxyyzfzfzxxxx.把x看成zy,的函数,方程两边对y求偏导数,则有.110212121yzffxyffxxzxyzfxfyyy把y看成zx,的函数,方程两边对z求偏导数,则有212121)(111xzffxyffyyxzxyfyfzzz.4.设22yxz,其中xfy为由方程122yxyx所确定的隐函数,求22,dxzddxdz.解由122yxyx得,yxyxdxdy22,又由22yxz,得yxyxdxdyyxdxdz222222.故22222226224221224yxxyxyxyxdxdyyxyxdxdyyxdxdzdxddxzd.5.设222zyxu,其中yxfz,是由方程xyzzyx3333所确定的隐函数,求xu及xxu.解令xyzzyxzyxF3,,333,得22zxyyzxFFzzxx.于是222222zxyyzzxxzzxuxx,5223332222223222212zxyxyazxyxzzxyzzyyzzxzxyyzzzxxzuxxxxx6.求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：（1）zyxezyx，求z对于yx,的一阶偏导数和二阶偏导数；（2）0,,zyxyxxF,求22,,xzyzxz和.解(1)令zyxezyxzyxF,,,则0,11yyxyxxyxzyzyxxzzzzzFFeF.(2)等式两边分别对yx,求偏导数,得32132321101,01FFFzzFFzFFFxyx,321FFzy.再将xz对x求偏导数,得xxxxzFFFFFzFFFzFFFFFz1111333231212322211312113232=3322123133212212112323221FFFFFFFFFFFFF.7.证明:设方程0,yxF所确定的隐函数xfy具有二阶导数,则当0yF时,有03yxyyyxyxxyxxyFFFFFFFFyF.证直接对原方程接连求导两次0,0yyxyxFFFyyFF.,011122yFFFFFFFFFFFyyyxyyxxyxyxyxx6于是02223yxyyyxyxxyxxyyxxxyxyyxyFFFFFFFFFFFFFFFyF.8.设f是一元函数,试问应对f提出什么条件,方程yfxfxyf2在点1,1的邻域内就能确定出唯一的y为x的函数?解设xyfyfxfyxF2,,则xyfxyfFxyfyxfFyx2,2,且11211,1,012111,1fffFfffFy.因此,当xf在1x的某邻域内连续,且01f时,方程yfxfxyf2就能唯一确定y为x的函数.§2隐函数组1.试讨论方程组.2,2222zyxzyx在点)2,1,1(的附近能否确定形如zgyzfx,的隐函数组?分析:隐函数组是否存在只须验证题目是否满足隐函数组存在定理的条件.解令2,,222zyxzyxF,2,,zyxzyxG,则(1)GF,在点)2,1,1(的某邻域内连续;(2);02,1,1,02,1,1GF(3)1,,2,2zyxzyxGGGzFyFxF均在点)2,1,1(的上述某邻域内连续;(4)041122,,2,1,1yxGF.由隐函数组存在定理,在点)2,1,1(的附近能确定形如zgyzfx,的隐函数组.2.求下列方程组所确定的隐函数组的导数:(1),,222222axyxazyx求;,dxdzdxdy(2),0,0222xuvyyvux求;,yvyuxvxu7(3),,,,2yvxugvyvuxfu求xvxu,.(分析:解由方程组确定的隐函数的导数问题,方程组确定了几个隐函数和隐函数的自变量的个数,其次,还要弄清楚哪些是自变量,哪些是因变量.只有将函数关系弄清楚了,才能正确地进行求导(偏导).解(1)设方程组确定的隐函数组为xzzxyy.对方程组两边关于x求导,得,22,0222adxdyyxdxdyzdxdyyx解方程组，得zadxdzyxadxdy2,22.(2)对方程组两边关于x求偏导数,得,02,021xuxuxvvxvyxuu解方程组，得uvxyxuxvxyuvuyvxu42,422.对方程组两边关于y求偏导数,得,021,02yuxyvvyvyvyuu解方程组，得xyuvxvuyvuvxyyvyu42,422.(3)两个方程包含uyx,,和v四个变量,可以确定两个二元函数,因为是求xvxu,,自然vu,是因变量,yx,是自变量.对方程组两边关于x求偏导数,得,21,2121xvvygxugxvxvfxuxufxu解方程组，得12211112112211212211,21121gfvygxfggxfgufxvgfvygxfgffvyguxu.3.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数:8(1),cos,sinvueyvuexuu求yxyxvvuu,,,.(2),,3322vuzvuyvux求xz.解(1)函数组两边关于x求偏导数,得.0sincos,1cossinsincos0,cossin1vuvuvevuvuvevuvvuuevuvvuuexxuxxuxxxuxxxu解方程组，得uvvueevxvvvevxuuuucossincos,cossin1sin.函数组两边关于y求偏导数,得.1sincos,0cossinsincos1,cossin0vuvuvevuvuvevuvvuuevuvvuueyyuyyuyyyuyyyu解方程组，得uvvueveyvvvevyuuuucossinsin,cossin1cos.(2)因为xxxvvuuz2233中的x