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第1页一次函数压轴题1.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图1，直线y=-x+3分别与y轴，x轴交于A，C两点，以OA，OC为边作矩形OABC，E是边OC上一点（不与点O，C重合）．（1）求点B的坐标；（2）如图2，将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D，若直线AD的解析式为y=-x+3，求直线DE的解析式；（3）如图3，将线段AE绕A点逆时针旋转90°，得线段AF，连接EF，M为线段EF的中点，求的值．(BC为EC)第2页3.在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，3）．（1）求一次函数的解析式：（2）若点P在该函数图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1，d2，求d1-d2的取值范围；（3）在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴上的顶点坐标．4.如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B；直线AB与直线y=x交于点A，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q．（1）求证：OB=OC；（2）当点C坐标为（0，3）时，求点Q的坐标；（3）当△OPC≌△ADP时，直接写出C点的坐标．5.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）写出∠PBD的度数和点D的坐标（点D的坐标用t表示）；（2）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．（3）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？第3页6.（12分）如图，直线l1：y=-3x+3，与x轴交于点D，直线l2与直线y=3x+13平行，与直线l1交于点C（2，－3）．（1）求直线l2的解析表达式；（2）若直线l2与x轴交于点A，求△ADC的面积；（3）在y轴上存在点P，使得△CDP与△CDA的面积相等，求出点P的坐标；（4）若点B为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点B，使以A、D、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，在直角坐标系中，直线AB分别交x轴于点B（﹣1，0），交y轴于点A（0，n），0＜n＜3.过点P（﹣1，3）作PC∥AB，PC交x轴于点C，交平行于x轴的直线AD于点D，连接PA，BD．（1）求直线AB的函数表达式（用含n的式子表示）；（2）设△ABD的面积为S，当点A运动时，S的值会发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出S的值；（3）若DC=DB，求n的值，判断此时四边形PDBA的形状，并说明理由．8.平面直角坐标系中，直线l1：y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．（1）当k=1时，求点P的坐标；（2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的第4页延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．9.已知：A（2，0），B（2，2），C（0，2），点D（m，0）是线段OA上一点，AE⊥BD交y轴于E，交BD于F．（1）正方形OABC的周长是______；（2）当m=1时，求点F的坐标；（3）如果≤m≤，直线y=kx+2-2k（k≠0）与直线EF始终有交点，求k的取值范围．10.已知一次函数y=kx+b的图象经过点M（-1，3）、N（1，5）．直线MN与坐标轴相交于点A、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图1，点C与点B关于x轴对称，点D在线段OA上，连结BD，把线段BD顺时针方向旋转90°得到线段DE，作直线CE交x轴于点F，求的值．（3）如图2，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．第5页11.如图，直线y=kx－k+4（k≠0）分别与x轴，y轴交于点A，B，无论k为何值，直线y=kx－k＋4（k≠0）都过定点E．（1）写出点E的坐标：E（）；（2）当k=﹣2时，将直线AB绕点B顺时针旋转45°后交x轴于点D，过点A作AB的垂线与直线BD交于点C．①求BC的解析式；②若点F是经过点A的直线上一点，且AF＝DA（点F在第一象限），试证明四边形DEFA是菱形．12.如图，已知直线y=-2x+8和x轴、y轴分别交于B和A，直线l经过点C（2，-4）和D（0，-3），向下平移1个单位后与x轴、y轴分别交于点E，F，直线AB和EF相交于P．（1）求直线l的解析式；（2）①求证：△AOB≌△EOF；②判断△APE的形状，并说明理由．13.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的O点为坐标原点，A、C两点分别在y轴和x轴上，AB∥OC，OA=8，AB=24，OC=26，动点P从A开始沿AB边向点D以1个单位/s的速度运动，动点Q从C开始沿CO边向点O以3个单位/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当一点到达时另一点也停止，设运动时间为t．（1）求直线BC的解析式；（2）当t为何值时，PQ∥CB？（3）是否存在t的值，使得PQ将四边形OABC的面积分成2：3两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．第6页14.如图，直线y=-x+1交y轴于A点，交x轴于C点，以A，O，C为顶点作矩形AOCB，将矩形AOCB绕O点逆时针旋转90°，得到矩形DOFE，直线AC交直线DF于G点．（1）求直线DF的解析式；（2）求证：OG平分∠CGD；（3）在第一象限内，是否存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在请求出点H的坐标；若不存在，请什么理由．15.如图，直线l1的解析式为y=-3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的解析表达式；（2）求△ADC的面积；（3）若点P为第一象限上的一点，且以A，C，D，P为顶点的四边形为平行四边形，试求点P的坐标．第7页一次函数压轴题答案和解析【答案】1.解：（1）直线，当x=0时，y=6，当y=0时，x=12，∴B（12，0），C（0，6），解方程组：得：，∴A（6，3），答：A（6，3），B（12，0），C（0，6）．（2）解：设D（x，x），∵△COD的面积为12，∴×6×x=12，解得：x=4，∴D（4，2），设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：，解得：，∴y=-x+6，答：直线CD的函数表达式是y=-x+6．（3）答：存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或（-3，3）或．2.解：（1）∵x=0时，y=-x+3=3，∴点A（0，3），同理可得点C（3，0），∵四边形OABC是矩形，∴点B的坐标为（3，3）．（2）在图2中，过点D作DG⊥x轴，垂足为G，则∠DGE=90°，∵AE⊥ED，∴∠AED=90°，∵∠EAD=45°，∴∠ADE=45°，∴AE=ED．∵∠OAE+∠OEA=90°，∠OEA+∠GED=90°，∴∠OAE=∠GED．∴△AEO≌△EGD（AAS），∴EG=AO=3，OE=DG．设D（t，-t+3），则t-（-t+3）=3，解得t=4，∴D（4，1），E（1，0）．设直线DE的解析式为y=kx+b，将D，E两点的坐标代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线DE的解析式为y=x-．（3）在图3中连接FB．∵∠OAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠BAF=90°，∴∠OAE=∠BAF．∴△OAE≌△BAF（SAS），∴BF=OE，∠ABF=∠AOE=90°，∴F，B，C三点共线，设E（a，0）（0＜a＜3），则EC=3-a，由（1）知B（3，3），∴F（3，3+a）．设M（m，n），∵点M为EF的中点，∴m=，n=．∴MB===（3-a），∴==．第8页3.解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（3，0）、B（0，3）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y=-x+3．（2）设点P的坐标为（m，-m+3），∴d1=|m|，d2=|-m+3|，∴d1-d2=|m|-|-m+3|．当m＜0时，-m+3＞0，d1-d2=|m|-|-m+3|=-m-（-m+3）=3；当0≤m≤3时，-m+3≥0，d1-d2=|m|-|-m+3|=m-（-m+3）=2m-3，∵0≤m≤3，∴-3≤d1-d2≤3；当3＜m时，-m+3＜0，d1-d2=|m|-|-m+3|=m-（m-3）=3．综上可知：当点P在该函数图象上时，P到x轴、y轴的距离分别为d1，d2，则d1-d2的取值范围为-3≤d1-d2≤3．（3）分两种情况：①如图1，当点O为正方形的一个顶点时，∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∵CD⊥OA，∴CD=AD．∵四边形ODCE是正方形，∴OD=CD，∴OD=AD，∴OD=OA=，∴落在x轴上的顶点（0，0），（，0）；②如图2，当正方形的两个顶点落在线段AB上时，∵∠BAO=∠ABO=45°，∴△AFE和△BGN均为等腰直角三角形，∴BN=GN，AM=FM，∵四边形FMNG为正方形，∴AM=MN=BN，∴AM=AB==，AF==2．∵OA=3，∴OF=3-2=1，∴落在x轴上的顶点F（1，0）．综上可知：正方形落在x轴上的顶点坐标为（0，0）、（，0）和（1，0）．4.证明：（1）过P作GH⊥OC，垂足为G，交AB于H，过P作PE⊥x轴，垂足为E，∵AB⊥OB，∴GH⊥AB，∵∠CPD=90°，∴∠GPC+∠DPH=90°，∠GCP+∠GPC=90°，∴∠GCP=∠DPH，又∵∠CGP=∠PHD=90°，PC=PD，∴△CGP≌△PHD，∴CG=PH，∵∠PEB=∠EBH=∠BHP=90°，∴四边形PEBH为矩形，∴PH=EB，∴CG=EB，∵GH∥OB，OG∥PE，∠GOE=90°，∴四边形GOEP为矩形，∵直线OA：y=x，∴∠GOP=∠POE=45°，∵∠GPO=∠POE=45°，∴∠GOP=∠GPO，∴GO=GP，∴矩形GOEP为正方形，∴OG=OE，∴OG+GC=OE+EB，即OC=OB；（2）∵P（1，1），∴OG=BH=PG=DH=1，∵C（0，3），∴OB=OC=3，∴D（3，2），设直线CD的解析式为：y=kx+b，把D（3，2）、C（0，3）代入得：，解得，∴直线CD的解析式为：y=-x+3，则解第9页得，∴Q（，）；（3）如图2，过P作GH⊥OC，垂足为G，交AB于H，设CG=x，则PH=x，OC=x+1，∵△OPC≌△ADP，∴AP=OC=x+1，AD=OP=，∴AH=+1，在Rt△APH中，由勾股定理得：（x+1）2=x2+（+1）2，x=+1，∴C（0，2+）．5.解：（1）如图1，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）∴AO=PQ．∵四边形OABC是正方形，∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．∵DP⊥BP，∴∠BPD=90°．∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．∵AO=PQ，AO=AB，∴AB=P