第3章正运动学方程

1第三章机器人正运动学方程§基础热身—运动学基本概念运动学正问题：已知各关节位移变量的值，要求末端手爪在空间的位置和姿态。运动学逆问题：指定末端手爪的空间位置和姿态，要求出各关节位移变量的相应值，实际上是求解运动学方程的过程。2第三章机器人正运动学方程§基础热身—自由度机器人的自由度：表示机构运动时独立的位置变量数，通常与机械手的关节数相同。期望机器人能够把它的端部执行装置移动到给定点。如果机器人用途预先不知道，它应当具有六个自由度。为什么？3第二章机器人正运动学方程§基础热身—坐标变换1、旋转变换设坐标系{B}和{A}有共同的原点，但是两者的方位不同。同一点P在两个坐标系{A}和{B}中的描述和具有以下变换关系，称为坐标系旋转方程。用旋转矩阵表示坐标系{B}相对于{A}的方位。同样，用描述坐标系{A}相对于{B}的方位。二者都是正交矩阵，两者互逆。PAPBPRPBABARABRBA1BAATABBRRRRAB4第三章机器人正运动学方程§基础热身—旋转矩阵旋转矩阵称为旋转矩阵，上标A代表参考系{A}，下标B代表被描述的坐标系{B}。cossin0sincos0001),(xRcos0sin010sin0cos),(yR1000cossin0sincos),(zRRAB5第三章机器人正运动学方程§基础热身—坐标变换2、齐次变换复合变换式对于点而言是非齐次的，但是可以将其表示成等价的齐次变换形式：其中，4×1的列向量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，仍然记为或。上式可以写成矩阵形式：齐次变换矩阵也代表坐标平移与坐标旋转的复合,可将其分解成两个矩阵相乘的形式：110001PPRPBBAABApB10010100033RpIpRABBABAABpApBpTpBABA6例:坐标系{B}绕坐标系{A}的Z轴旋转30度,沿平移10个单位,沿平移5个单位.知道P点在{B}中的坐标表示为，求P点在{A}中的坐标表示结果：0.8660.5000.00010.00.5000.8660.0005.0(,)0.0000.0001.0000.000010001AABBRzPT9.09812.5620.000AABBPTPˆAXˆAYAP[3.07.00.0]BTP第三章机器人正运动学方程§基础热身—运动方程的表示7第三章机器人正运动学方程§基础热身—运动方程的表示可以把机械手看作一系列关节连接起来的连杆构成的，为每个连杆建立一个坐标系，并用齐次变换描述这些坐标系间的相对位置和姿态6123456TTTTTTT=UUAUBCDADBCDTTTTTT对于六连杆机械手：8第三章机器人正运动学方程§3.1概述（D-H方法）D-H方法1955年，Denavit和Hartenberg在“ASMEJournalofAppliedMechanics”发表一篇论文，其内容成为机器人运动建模的标准方法。D-H方法是对机器人连杆和关节建模的一种简单方法，也可用于直角坐标、圆柱坐标、球坐标、欧拉角坐标、RPY坐标等的变换。9开链（OpenChain）机器人又称串接杆件机器人，由若干刚性杆件首尾相连而成，杆件间的连接物称为关节。第三章机器人正运动学方程§3.1概述（D-H方法）10开链（OpenChain）机器人例：Puma560机器人由6个连杆和6个关节组成，具有6个自由度。操作臂的末端抓手与连杆6固连成一体。这样构成单链开放式结构，即开链机器人。ˆNX1ˆNX第三章机器人正运动学方程§3.1概述（D-H方法）111.Linkdescription–Alinkisconsideredonlyasarigidbody.–Jointaxesaredefinedbylinesinspace.–Thelinksarenumberedstartingfromtheimmobilebaseofthearm,link0,andsoontothefreeend,linkn.第三章机器人正运动学方程§3.2连杆描述12第三章机器人正运动学方程§3.3运动学方程—连杆坐标（D-H方法）1、连杆坐标1）找出连杆的关节和轴线2）Zi轴的确定：坐标系{i}的Zi轴与关节轴i重合，坐标系{i}的原点位于公垂线与关节轴i交点处。3）Xi轴的确定：Xi轴沿着公垂线方向由当前关节i指向下一个关节i+1。当公垂线为0时，Xi垂直于Zi和Zi+1所在平面。4）Yi轴的确定：右手定则确定。首末连杆当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1}重合。对于坐标系{N}，其原点和X的方向可以任取。但在选取时，通常尽量使连杆参数为0。13第三章机器人正运动学方程§3.3运动学方程—连杆坐标（D-H方法）2、连杆参数连杆的功能在于保持其两端的关节轴线具有固定的几何关系，连杆的特征也是由这两条轴线规定的。1）连杆长度2）连杆扭角3）连杆间距4）关节角度连杆长度和扭角完全地定义了连杆的特征。连杆间距和关节角度描述了两连杆之间的联系。iiaidi14第三章机器人正运动学方程§3.3运动学方程—连杆坐标（D-H方法）例：XHK5140自动换刀数控立式铣镗床的连杆机械手的连杆如图所示，关节1的轴线与正方体的对角线重合，关节2的轴线与正方体的一棱边重合，正方体的边长为L，求此连杆长度和扭角。15第三章机器人正运动学方程§3.3运动学方程—连杆坐标（D-H方法）3、填写DH表连杆坐标系相对于的变换称为连杆变换。显然与四个连杆参数有关。因此，可以把连杆变换分解为四个基本的子变换问题，其中每个子变换依赖于一个连杆参数。1)绕轴转角；2)沿轴移动；3)绕轴转角；4)沿轴移动。i1iTii11ix1i1ix1iaiziizid填写DH表16第三章机器人正运动学方程§3.3运动学方程—连杆坐标（D-H方法）4、总结建立步骤1、找出各关节轴，标出延长线。2、找出关节轴i和i+1之间的公垂线或关节轴i和i+1的交点，以关节轴的i和i+1的交点或公垂线与关节轴的交点作为连杆坐标系{i}的原点。3、规定轴沿关节轴i的指向。4、规定轴沿公垂线的指向如果关节轴i和i+1相交，则规定垂直于关节轴i和i+1所在平面5、按照右手定则确定6、当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1}重合。对于坐标系{N}，其原点和X的方向可以任取。但在选取时，通常尽量使连杆参数为0.7、确定连杆参数8、根据连杆参数建立法则确定连杆参数，填入DH表ixixiziY17练习:Athree-linkplanararm.Allthreejointsarerevolute,called3Rmechanism.Figure(b)isaschematicrepresentationofthesamemanipulator.Thedoublehashmarksindicatedoneachofthethreeaxes,whichindicatethattheseaxesareparallel.AssignlinkframestothemechanismandgivetheDenavit-Hartenbergparameters.第三章机器人正运动学方程§3.4练习（D-H方法）18练习119Example:Arobothavingthreedegreesoffreedomandoneprismaticjoint,canbecalledRPRmechanisminanotationthatspecifiesthetypeandorderofthejoints.Itisacylindricalrobotwhosefirsttwojointsareanalogoustopolarcoordinateswhenviewedfromabove.Thelastjointprovidesrollforthehand.Figure(b)showsthesamemanipulatorinschematicform.Notethesymbolusedtorepresentprismaticjoints,andnotethata“dot”isusedtoindicatethepointatwhichtwoadjacentaxesintersect.Also,thefactthataxes1and2areorthogonalhasbeenindicated.第三章机器人正运动学方程§3.4练习（D-H方法）20练习221第三章机器人正运动学方程§3.4练习（D-H方法）Example:Athree-link,3Rmanipulatorforwhichjointaxes1and2intersectandaxes2and3areparallel.Figure(b)showsthekinematicschematicofthemanipulator.Notethattheschematicincludesannotationsindicatingthatthefirsttwoaxesareorthogonalandthelasttwoareparallel..22练习3坐标系的建立和DH参数并不唯一，下面的例子可以充分说明这点。23第三章机器人正运动学方程§3.4练习（D-H方法）一般情况下,当与相交时,有两种选择。在本例中，由于关节轴1和关节轴2相交，因此的方向有两种选择。下图所示是选择另一个方向时，另外两种可能的坐标系布局形式。实际上，当方向向下时，相应于前面的四种选择还有四种可能的坐标系布局形式。.ˆiX1ˆZ1ˆiZˆiZ1ˆX1ˆX24第三章机器人正运动学方程§3.5运动学方程—操作臂运动学1、连杆变换矩阵连杆坐标系相对于的变换称为连杆变换。显然与四个连杆参数有关。因此，可以把连杆变换分解为四个基本的子变换问题，其中每个子变换依赖于一个连杆参数。1)绕轴转角；2)沿轴移动；3)绕轴转角；4)沿轴移动。iiiiiidzTranszRotaxTransxRotT,,,,111100001111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiicdcscsssdscccsascTi1iTii11ix1i1ix1iaiziizid25第三章机器人正运动学方程§3.5运动学方程—操作臂运动学11111111111110000010010000cs001000001000010sc00010001000010001000100010iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiicsascTdcsascccssdscc1110001iiiiiscsd26例：以上节练习2中的机械臂为例，计算各个连杆的变换矩阵。练习401001111111111()()()()001000100010000100010000010000100010001000100001000100010001000000100001XXZZTRDaRDdcssccssc27练习4121122000022()()()()100010001000100001000cos90sin90001000100001001000100sin90cos9000001000100010001100