10个证明题

1.在光滑的水平桌面上，有一如图所示的固定半圆形屏障．质量为m的滑块以初速度0v沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为．试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所作的功为)1e(21220vmW证：滑块受力如图所示．滑块作圆周运动RmN/2v①tmNfrd/dv②由①、②可得dddddddd2vvvvvRttR∴vvd/d分离变量进行积分00dd)/1(vvv可得π0evv由动能定理，摩擦力所作的功为)1e(212121π220202vvvmmmW2.如图用细线把质量为M的均匀大圆环挂起来，环上套有两个质量均为m的均匀小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动，整个系统处于静止状态．若两小环同时从大环顶部由静止开始向两边滑下，试证明：如果m≥3M/2，则在两个小环下滑至某一位置时大环会升起，并求出大环开始上升时小环下滑的角度．解：设细线中的张力的大小为T，小环对大环的作用力的大小为N，大环对小环作用力的大小为N＇(N=N＇)，小环滑到任一位置角时的速度大小为v，则对大环：0cos2MgNT①对小环：RmNmg/cos2v②221)cos1(vmmgR③联立①、②、③，得0cos4cos62TMgmgmg④大环上升时，T=0，由④式得0cos4cos62Mmm⑤mMmmm1224164cos2)2311(31mM⑥只有当m≥3M/2时，上式为实数．这时⑤式的有解，而大环可以上升．此时)]2311(31[cos1mM［注］⑥式给出的应有两值，1和2．取正号为1，取负号为2，则12．1时，④给出T0，环未上升，=1时，T=0，环开始上升．如果维持环不动，当1时，需向下对环施力（相当于T0）．当=2时，T=0，2时，T0，mv0俯视图vNOfrmMmRTNNgmv环不再能上升．故小环从静止下落，达到1时，大环开始上升．3.如图所示，一质量为M的木块置于劲度系数为k的弹簧上，系统处于静止状态．若一团质量为m的橡皮泥自木块上方h高处自由下落，与木块粘在一起运动，试证明弹簧的最大弹性势能kgMmMghmEP2222max2证：令v0为m与M刚粘在一起时两者共同运动的速度,则有0)(2vMmghm)/(20Mmghmv设在m粘上M后，M又下降x而停止，则max22020)(21)(21PEgxMmkxmMvgxMmkxmMEP)(21)(212020max2v可得2020max221)(21kxmMEPv其中kMgx/0即kgMmMghmEP2222max24.在右图中，AB为一理想气体等温线，C态与D态在AB线两侧，试证明：D态的温度高于C态的温度．证：设等温线的温度为T0，C态的温度为TC，D态的温度为TD．过D作等体线与等温线相交于M，过C作等压线与等温线相交于N．由状态方程pV＝(M/Mmol)RT知，在等体线上,D点的压强大于M点，∴TD＞T0．在等压线上，C点的体积小于N点，∴TC＜T0TD＞TC5.在图中，AB为一理想气体绝热线．设气体由任意C态经准静态过程变到D态，过程曲线CD与绝热线AB相交于E．试证明：CD过程为吸热过程．证：过C点作另一条绝热线BA，由热力学第二定律可知BA与AB不可能相交，一定在AB下方，过D点作一等体线，它与绝热线BA相交于M．根据热力学第一定律有QCD=ED－EC+WCD①kmMhVABCpDVABCpDNMpVOABCDEQCM=EM－EC+WCM②①－②得QCD－QCM=ED－EM+WCD－WCM而QCM=0(绝热过程)在等体线上，D点压强大于M点，∴TDTM因而ED－EM0．由图可知WCDWCM∴QCD0，CD过程为吸热过程．6.如图，在一电荷体密度为的均匀带电球体中，挖出一个以O＇为球心的球状小空腔，空腔的球心相对带电球体中心O的位置矢量用b表示．试证球形空腔内的电场是均匀电场，其表达式为bE03．证：空腔内任一点P的场强,等于不挖去小球时的场强1E与在小球处单放一体密度为－的小球产生的场强2E的叠加.分别以O，O为中心，过P点作球面S1和S2为高斯面.则3100211134d14d1rVrESES1013rE同理得：2023rEP点场强brrEEE021021337.在一个球面上相对于直径AB等间隔地绕以平行导线而形成如图所示的球形线圈壳．试证当线圈中通以电流时，在直径AB上所有各点的磁感强度B均相等．证：设球的半径为a，总匝数为N，直径AB上一点P的坐标为(0，0，b)，由圆电流轴线上一点P的磁感强度的公式可得aazIaNbzxxBd2])([22/32220aazbzxxaNId])([42/32220∵222zax令222222)(ubzbabzxpOVABCDEMABS2S1O'1r2rbE1E2EOAOBzx则ubuzd)/(d而由于22222)2(bubaz则222222)2(bubaax∴babaububaauabNIBd])2([142222220aNI/310由此结果可知，B与P点坐标b无关，即在直径AB上所有各点的磁感强度B均相等．8.将一半径为R的载流圆环置于磁感强度为B的均匀磁场中，该环可分别绕OP轴(垂直于磁场的直径)和O′P′轴(平行于OP轴，且与环相切的直线，如图)旋转．试证该环绕OP轴转动的最大磁力矩maxM与绕O＇P＇轴转动的最大磁力矩maxM相等．证：绕OP轴旋转时BSIM2maxRIBISBM绕O＇P＇轴旋转时，先考虑a、b两处的电流元dddIRlIlIba考虑到环路所在平面的法向与B垂直时，环路所受磁力矩最大sinddBlIFaabFIBRddsinaadFRM)sin1(ddsin)sin1(2IBRbbdFRdM)sin1(dsin)sin1(2IBRdsin2ddd22IBRMMMba0MdM022dsin2IBR2RIB∴maxMmaxM9.在光电效应实验中，测得光电子最大初动能EK与入射光频率的关系曲线如图所示．试证：普朗克常量)/(QSRSh．(即直线的斜率)证：由爱因斯坦方程Ahm221v及逸出功0hA得0hh221vm0221vmh0KE因为0时EK=0，由图可知：xdzABzPOaxbIROPP′O′BIdlaOPO＇P＇dBIdlbEKQORS入射光频率为时)/(0QSRSEK即)/(QSRSh10.N匝导线，密绕成内外半径为R1和R2的平面薄圆环，如图所示．通有电流I，放在磁感强度为B的匀强磁场中．设此环绕圆环平面内通过中心的AA＇轴的转动惯量为J．试证：当其偏离平衡位置一小角度时，此系统的振动是一简谐振动.写出关于的振动方程．证∶沿径向单位长度有n匝导线，)/(12RRNn故dr宽度有电流rnIIdd它的磁矩rRRNIrrnIrpmddd1222总磁矩21dd212RRmmrrRRNIpP)(31313212RRRRNI)(3212122RRRRNI在磁场B中受的磁力矩sinBPMm由转动定律JJM即JsinBPm式中负号是因为力矩转向变小的方向.在小角度情况下sin=JBPm这是振动微分方程,所以说线圈作扭转简谐振动．其振动圆频率为JBPm振动的振幅0和初相0由初始条件决定．)cos(00tJBPmBmpR1R2A'AI