[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第三讲：一般形式的柯西不等式2课时

若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.复习1（二维形式的柯西不等式）:你能证明吗？2222221231232112233()()()aaabbbababab2.（三维形式的柯西不等式）:22222212n12n21122(...)(...)(...)nnaaabbbababab定理设nnbbbbaaaa,...,,,,,...,,,321321是实数，则当且仅当(i=1,2,…,n)或存在一个数k使得(i=1,2,…,n)时等号成立。以上不等式称为一般形式的柯西不等式。0ibiikba3.（n维形式的柯西不等式）:).,...,2,1,,()(...)()(......)()()(22222112222122221221221221222222212121niRyxyxyxyxyyyxxxzzyyxxzyxzyxiinnnn4.一般形式的三角不等式第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式虎林高级中学栾红民.,,,,dacdbcabdcbadcba22222证明是不全相等的正数已知例.,,,,,明可以用柯西式不等式证顺序启发我们排列特别是右边式子的字母组成的式子这四个数上式两边都是由分析dcba222222222dacdbcabadcbdcba有根据柯西不等式证明,,,,,,不成立所以等式是不全相等的正数因为1addccbbadcba,222222dacdbcabdcba所以.dacdbcabdcba2222即?立吗你能解释为什么它不成1•练习41页2•40页例3.,1323222的最小值求已知例zyxzyx。取最小值时，即当且仅当141143,71,141,321zyxzyx,根据柯西不等式证明1)32(x)321)((2222222zyzyx141)(222zyx2222222123123112233()()()aaabbbababab•练习41页5例4若abc求证：cacbba4114)11()11)](()[()11)((2cbbacbbacbbaca证明：∴cacbba411练习4：若求证：Rcba,,23bacacbcba分析：左端变形∴只需证此式即可111bacacbcba)111)((baaccbcba29补充练习1:1.已知实数,,,,abcde满足8,abcde2222216,abcde求e的取值范围.2.已知,,,1,xyzRxyz且求证:14936xyz≥22222222222222:4()(1111)()()4(16)(8),6446416165160,05abcdabcdabcdeeeeeeee解即即故≥≥≥≥≤≤证法一:用柯西不等式2149149()()123()36xyzxyzxyzxyzxyz≥当且仅当22211111,,,49632xyzxyz即时,等号成立.2.已知,,,1,xyzRxyz且求证:14936xyz≥.,21,31,61,3,236126414)94()9()4(14)(9)(4)(1941:等号成立时即当且仅当代入法证法二zyxxzxyzyyzzxxzyxxyzyxzzyxyzyxxzyx练习2:3100)1()1()1(:,1,,,.2222ccbbaacbacba求证且为正数设222222236)sin1sin1sin1)((:,,,,,1RCBAcbaRcbaABC求证外接圆半径为设其各边长为中在2221121413121174:,2.3nnn试证的正整数是不小于若23)(1)(1)(1:,1,,,.4333baccabcbaabcRcba试证明且满足设作业41页4,641页4：设a、b、c为正数且各不相等。求证：cbaaccbba9222)111)](()()[()111)((2accbbaaccbbaaccbbacba证明：9)111(2又a、b、c各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。课堂练习:416.P设1212,,,1,nnxxxRxxx且求证:222121211111nnxxxxxxn≥22212122212121221212122212(1)()111(111)(11)(111111)()11nnnnnnnnnxxxnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx≥222121211111nnxxxxxxn≥证明：