[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第四讲：2数学归纳法及其应用不等式1课时1

数学归纳法证明不等式1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的n的值，如n0＝1)(归纳奠基）；2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.数学归纳法:关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！用上假设，递推才真注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.式用数学归纳法证明不等二虎林高级中学栾红民.纳法证明不等式归进一步讨论如何用数学下面我们结合具体例题.,,,,,,,,,:}{;,,,,,,,,,:}{.?,512256128643216842281644936251694112nnnnnbnaba证明你的结论小于从第几项起观察下面两个数列例.,.,,,,的情形步应证第猜想时用数学归纳法证明上述即项起从第由数列的前几项猜想分析515252nnNnnbannn.,命题成立时有当证明522551n.,kkkkn2522即有时命题成立假设当121122kkkkn因为时当.kkkkk32222222kkk.1222kk.,时命题成立即所以12112knkk.,,52212nNnnn可知由?的理由中吗你能说出证明中每一步•练习53页3.|sin||sin|Nnnn证明不等式例2.,,,对值不等式用三角函数的性质及绝应注意利在证明递推关系时又与绝对值有关的三角函数问题这是一个涉及正整数分析n.,|sin|,式成立不等右边上式左边时当证明11n.|sin||sin|,,kkkkn即有不等式成立时假设当12,时当1kn|sincoscossin||sin|kkk1|sincos||cossin|kk|sin||cos||cos||sin|kk|sin||sin|k|sin||sin|k.|sin|1k.时不等式成立所以当1kn.,均成立不等式对一切正整数可知由n21?的理由中吗你能说出证明中每一步证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.11111413,2122342424(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:11113,12224kkk则当n=k+1时,我们有:11111(1)1(1)222122111111()12221221kkkkkkkkkkk131113113().24212224(21)(22)24kkkk即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.*,2nNn≥练习.用数学归纳法证明:*11113(2,).12224nnNnnn≥(4)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清右端应增加的项.例如：利用数学归纳法证明不等式由k递推到k+1左边应添加的因式是12113...1214nnnn11121221kkk•作业：53页2