2-7分布的其它特征数(m)

主要内容（1.5学时）一、K阶矩（重点）。二、变异系数。三、分位数（重点）。四、中位数。五、偏度系数。六、峰度系数。第七节（一维X）分布的其它特征数多维：协方差（矩阵）、相关系数、混合矩等。一、K阶矩（重点）k():()kEXkkN阶原点矩E(X),D(X)是一维X最重要的特征数.此外,还有其它特征数.1.kkE(X),E[(XE(X)(),]即对应的级数或广义存在积分收敛k[(()]:()kkkNEXEX阶中心矩说明：12X1k,k.kk().XX因若的阶矩存在则低于的各阶矩也存在2123()E(X),E[(XE(X)]D(X)1、定义2、中心矩与原点矩的关系1k()[(]()kkEXEEXX10[()]kkikiiiECX10()kikikiiC01101:(=10)例如2222011211()2()33321132244431211463注意：应用时，一般最多用到四阶矩（偏度、峰度）k,.2k例1(P125-例7.1)设随机变量XN(0,),求2221k2:()xkkxEXedx解222ukkuedu22k,,(k=1,3,5,...)0ukkue为奇数时为奇函数11222k02kkkzzedz121222()kkk(1)(3)...1(k=2,4,6,...)kkk2412340,,0,:3前四阶原点矩(k=1,2,...)kk二、变异系数()(,))(().()DXXCXEXEXXXv的二阶矩存在称比值为的变异系数说明：1)C)((Xv无量纲,消除了量纲不同X的差异.1、定义背景：(1)比较不同量纲随机变量的波动幅度，方差并不合理；(2)相同量纲的随机变量，比较波幅仅方差也不准确(大,小)。2)C)((Xv主要度量不同随机变量波动程度.解:D(X)D(Y)，并不表明X的波幅比Y大(取值大小差异悬殊)。例2（P126-例7.2）X表示某种同龄树的高度(单位：米)，Y表示某年龄儿童的身高（单位：米）。比较随机变量X、Y的波幅大小。其中E(X)=10，D(X)=1,E(Y)=1,D(Y)=0.04。()()()XCXEXv110()0.04()(0.21)YCYEYv,()()YX.CXCYvv因此的波幅比的波幅大三、分位数（重点）()()(),().,pxppFxpxdXFxpxxxpp设连续型的分布函数为密度函数对任意的p(0,1),称满足下分位数条件的为该分布说明：1pppp(),xF(xp).pxP(Xx)即落在左侧的概率等于时的1、定义背景：数理统计、计量经济学、统计学中大量使用。13ppppxP{Xx}F(x)p(x)d().xpxp的为该分上分位数布21pppP(Xx)(),xxpp.或定义为即落在右侧概率等于1-的2、分位数的互换与计算11ppppxxxx上下侧分位数互换:0.10.1,()10.10.9PXup解:(1)令2(0,1),0.1,0.05,0.01(,),XNYNppp例3(P127-例7.3)(1)求的上下(2)求上分数.下位分位数.0.11.29u由P(X)=0.9,上侧分位数1.290.051.645u由P(X)=0.95,上1.645侧分位数0.05()10.0500.05,9.5pPXu令0.010.010.01,()10.010.992.33uupPX类似令pp标准正态分布关于y轴对称,故u侧分位数u下012Y-(2)YN(,),N(则,):{}{}pxYpPYpPxp下侧分位数0.10.11.29uu0.050.051.645uu0.010.012.33uu()pxppxpuppxu下侧分位数:11ppppxxuu上侧分位数:例4(P130-习5)设XN(10,9),求p=0.1,0.05的上下分位数.0.10.1xu0.10.1xu1.29103*13.870.050.050.95103*1.64514.935(127)xuxP错(1.29)1036.130.050.05103*(1.645)5.065xu2:(),(),(,).ntnFmn统计学三大抽样分布经常使用分位数20.05425427:(10)3.9403P20.95(15)24.99580.9428430:(18)1.3304Pt0.99(14)2.6245t0.9431434:(10,20)1.94PF0.95(9,18)2.46F（1）中位数即是p=0.5的分位数。（P128图）四、中位数0.50.50.5(){}()0.5.xFxPXxpxdx0.50.5设随机变量X的分布函数为F(x),概率密度为p(x),则称p=0.5的p分位数x为此分布的中位数.即满足下式的x说明：（3）某些场合里中位数比均值更能说明问题（P128例）0.5(2)x即X落在左侧和右侧的概率相等的分位数.x0:(1)(),()0xeXExppx解其它0.510.5xe0.50.5,.xy2例5(P128-例7.4)XExp(),YN(,),求中位数0.50.50{}0.5xxPXxedx0.5ln2=x2(2)YN(,)()pyy概率密度关于对称0.5=()yEY0.5ln20.5128(0.5)=1.39(min)PpxXEx通话时间五、偏度系数3322333212()[()][()](){}{}()XEXEEXEEXEXXXD设随机变量X的三阶矩存在,则称下值为X的偏度系数,简称偏度.说明：1(1)偏度实际上为的标准化变X-E(X)XD(量的三阶X)原点矩.12(3)XN(,),(p(x)0EX=)()若则偏度关于对称1(2)刻画X分布偏度的对称性.1330,即=E[]0,即X的分布重心偏左,见P1X-E(X)29-a.11=00,X的分布关于E(X)对称.,X的分布重心偏右,见P129-b\c.六、峰度系数44422222[()]3{}33{()[()}]()()XEXEXEXDXEXEXE设随机变量X的四阶矩存在,则称下值为X的峰度系数,简称峰度.说明：2(1)峰度实际上为的标准化变X-E(X)XD(量的四阶X)原点矩.20即任一正态分布的峰度4422422(2)XN(,),3330()若则峰度2*,即X标准化的分布比标准正态分布更平坦,X0低峰度;2(3)刻画X分布的,即X取值相对于标准正态分布N(0,1)的集中程度,并非峰峰度值陡峭程度的高低.42**()3XEX令X-E(X)D(X)2*,即X标准化的分布与标准正态分=X0布相当.2*,即X标准化的分布比标准正态分布更陡峭,X0高峰度.122:(,),()1.2,abXUabEX解XU(a,b),YExp(),ZGa(,)..2例6(P130-例7.5)随机变量考察其峰度系数21.,2p(x)U,.表明若某随机变量则呈的形其2(),,6.0YExp表明指数分布比正态分布更陡峭12(,).26,ZGa偏度系数峰度系数12(,),.Ga的偏度峰度只与有关,而与无关121200,,,,,)越大偏度峰度越小.充分大时Ga(p(x)趋近于正态分布概率密度(P111-图2.5.5)本节重点总结K阶矩、分位数的定义及计算。