2013新知杯历年上海市初中数学竞赛

12013海市初中数学竞赛(知杯)2013128日午9:00~11:00号一1~8二总9令代令令令以得评卷复一醓填空(10)1.已知721,721−=+=ba则.________33=−+−bbaa2.已知43214321//////,//////mmmmllll._______,20,100===EFGHILKJABCDSSS则3.已知FEACABA醓,8,690==°=∠在AB且3,2==BFAE过点E作AC的行线交BC于DFD的延长线交AC的延长线于G则.__________=GF4.已知五边形的边长为)(,,,,,54321xfaaaaa为二次式当1ax=或者5432aaaax+++=2时5)(=xf当21aax+=时,)(pxf=当543aaax++=时qxf=)(则.________=−qp5.已知一个位数是35的倍数且各个数位数之和为15则个位数为___________.6.已知关于x的一元二次方程0)2)(1(2=++++mmaxx对于任意的实数a都实数则m的取值范围是_________________.7.已知四边形ABCD的面为2013E为AD一点CDEABEBCE∆∆∆,,的心别为321,,GGG那321GGG∆的面为________________.8.直角角形斜边AB的高3=CD延长DC到P使得2=CP过B作APBF⊥交CD于E交AP于F则._________=DE二醓解答第9醓第1015第11醓第12209.已知°=∠90BAC四边形ADEF是方形且边长为1求CABCAB111++的最大值.310.已知a是为0的实数求解方程组=−=−axyxyayxxy111.已知,1nnaaaa,,,,321L为整数且2013321321=⋅⋅⋅⋅=++++nnaaaaaaaaLL求n的最小值.12.已知整数dca醓醓醓b满足),13(),13(22−=+=dcbdca求所满足条的d的值.答案1.27102−2.603.2654.05.7356.12−≤≤−m7.36718.599.CABCAB111++4221+≤10.检验原方程组的解为+=+=1122ayaax+−=+−=1122ayaax.11.醟解析醠2013,1,1,554321===−===aaaaan当满足设等式证当4≤n时在满足等式要求的整数妨设naaaa≤≤≤≤L3214(1)当4=n时611132013××=当4321,,,aaaa中负整数时必为==+⇒−==20132015,1434321aaaaaa若2013,143==aa满足条当20152671,344343≤+⇒≤⇒≥aaaaa无解.可能当4321,,,aaaa中无负整数时显然20134≠a6714≤a容易验证等式可能立.(2)当3=n时当321,,aaa中负整数时必为,121−==aa显然等式立当321,,aaa中无负整数时容易验证等式可能立.(3)当2=n时21,aa均为整数易验证等式可能立.综所述n的最小值为5.12.85=d2013海知杯初中数学竞赛答案56789以代令以知杯海市初中数学竞赛试卷2012129日午9:00~11:00号一1~8二总9令代令令令以得评卷复解答试卷可使用科学计算器一醓填空10共801.已知的边的高为边行的两条直线将的面等则直线之间的距离为_____________醔2.时投掷两骰子表示两骰子朝一面的点数之和为的概率则的值为______________醔3.在面直角坐标系中已知点点在直线使得是等腰角形则点的坐标是____________________醔4.在矩形中醔点别在使得醔是矩形内部的一点若四边形的面为则四边形的面等于_______________醔5.使得是素数的整数共___________个醔6.面一动点到长为的线段所在直线的距离为当取到最小值时_____________醔107.已知一个梯形的醓高醓恰好是个连续的整数且个数使得多式是常数的值也恰好是按序的个连续整数则个梯形的面为________________醔8.将所除余和除余的整数从小到大排一列设表示数列的前的和则___________醔表示超过实数的最大整数醔二醓解答第9,1015第11,1220共709.如图是方形内一点过点别作的垂线垂足别为醔已知求证或者或者醔10.解方程组醔1111.给定实数对任意一个整数记表示超过实数的最大整数醔1若求的取值范围2求证醔12.证明在任意个互相的实数中一定在两个数满足122011知杯海市初中数学竞赛试卷2011124日午9:00~11:00号一1~8二总9101112得评卷复解答试卷可使用科学计算器一醓填空10共801.已知关于x的两个方程LL032=+−mxx鄇LL02=++mxx鄈中0≠m醔若方程鄇中一个是方程鄈的某个的3倍则实数m的值是___________醔2.已知梯形ABCD中AB//CD°=∠90ABCADBD⊥5=BC13=BD则梯形ABCD的面为_______________醔3.从编号别为123456的6张卡片中任意抽取3张则抽卡片的编号都大于等13于2的概率为______________醔4.将8个数7−5−3−2−24613排列为abcdefgh使得()()22hgfedcba+++++++的值最小则个最小值为____________醔5.已知方形ABCD的边长为4EF别是边ABBC的点使得3=AE2=BF线段AFDE相交于点G则四边形DGFC的面为_____________醔6.在等腰直角角形ABC中°=∠90ACBP是ABC∆内一点使得11=PA7=PB6=PC则边AC的长为______________醔7.10象棋选手进行单循赛即两选手比赛一场规定获胜得2局得1负得0醔比赛结束发选手的得各相且第2的得是最五选手的得和的54则第2选手的得是_________醔8.已知abcd都是质数质数即素数允许abcd相的情况且abcd是35个连续整数的和则dcba+++的最小值为_________醔二醓解答第91015第111220共709.如图矩形ABCD的对角线交点为O已知°=∠60DAC角DAC的线边DC交于点S直线OSAD相交于点L直线BLAC相交于点M醔求证LCSM//醔解OMSLDCBA1410.对于整数n记nn×××=L21!醔求所的整数组()fedcba,,,,,使得!!!!!!fedcba++++=且fedcba≥≥≥≥醔解11.1证明在整数xy满足2022422=++yxyx2问是否在整数xy满足?2011422=++yxyx证明你的结论醔解1512.对一个大于1的整数n设它的所的质因数为1p2p...kp对于个()kipi≤≤1在整数ia使得1+≤iiaiaipnp记()kakaapppnp+++=L2121例如()895210026=+=p醔1试找一个整数n使得()nnp2证明在无穷多个整数n使得()n.np11醔解16171819202122以代令代知杯海市初中数学竞赛试卷一醓填空第1~5小8第6~10小10共901.已知31=+xx则=+++10551011xxxx_________醔2.满足方程()()33222=−+++yxyx的所实数对()yx为__________醔3.已知直角角形ABC中3690===∠CABCCoCD为C∠的角线则_________醔4.若前2011个整数的201121×××L能被k2010整除则整数k的最大值为________醔5.如图面直角坐标系内角形ABC的顶点BC的坐标别为1030过坐标原点O的一条直线别边ABAC交于点MN若OM=MN则点M的坐标为_________醔6.如图矩形ABCD中AB=5BC=8点EFGH别在边ABBCCDDA使得AE=2BF=5DG=3AH=3点O在线段HF使得四边形AEOH的面为9则四边形OFCG的面是_________醔7.整数qp满足2010=+qp且关于x的一元二次方程0672=++qpxx的两个均为整数则=p________醔8.已知实数cba满足0=++≥≥cbacba且0≠a醔设21xx是方程02=++cbxax的两个实数则面直线坐标系内两点()()1221xxBxxA之间的距离的最大值为_______醔9.如图设ABCDE是五边形五角星ACEBD阴影部的面为1设ACBE的交点为PBDCE的交点为Q则四边形APQD的面等于_______醔10.设cba是整数91≤≤cba且1+⋅⋅cabbcaabc能被9整除则cba++的最小值是_________最大值是__________醔二醓解答15共6011.已知面为4的ABC∆的边长别为bccABbCAaBC===AD是A∠的角线点'C是点C关于直线AD的对点若BDC'∆ABC∆相似求ABC∆的周长的最小值醔yxMNOCBAOGFEHDCBAQPEDCBAC'CDBA2312.将1299个数别填入图1中的9个小方格中使得7个位数cfibehghidefabc和aei都能被11整除求位数ceg的最大值13.设实数zyx满足0=++zyx且()()()2222≤−+−+−xzzyyx求x的最大值和最小值14.22161ba+形式的数为“好数”中ba都是整数1证明1002010都是“好数”醔2证明在整数yx使得161161yx+是“好数”而yx+是“好数”醔ihgfedcba24252627282930312009知杯海市初中数学竞赛试以代代9令以6日一醓填空第1-5小8第6-10小10共901醓对于任意实数a,b定,a∗b=a(a+b)+b,已知a∗2.5=28.5则实数a的值是醔2醓在角形ABC中22b1,,2aABBCaCA=−==中a,b是大于1的整数则b-a=醔3醓一个行四边形可被92个边长为1的角形它的周长可能是醔4醓已知关于x的方程4322(3)(2)20xxkxkxk++++++=实并且所实的为−2则所实的方和为醔5醓如图直角角形ABC中,AC=1BC2P为斜边AB一动点醔PE⊥BCPF⊥CA则线段EF长的最小值为醔6醓设ab是方程26810xx++=的两个cd是方程28610xx−+=的两个则(a+c)(b+c)(a−d)(b−d)的值醔第第第第FECBAP327在面直角坐标系中两点P(-1,1),Q(2,2)函数ykx−1的图线段PQ延长线相交交点包括Q则实数k的取值范围是醔8方程xyz2009的所整数解组醔9如图四边形ABCD中ABBCCD∠ABC78°∠BCD162°醔设AD,BC延长线交于E则∠AEB醔10醓如图在直角梯形ABCD中∠ABC∠BCD90°ABBC10点M在BC使得ΔADM是角形则ΔABMΔDCM的面和是醔二醓15如图ΔABC中∠ACB90°点D在CA使得CD1,AD3并且∠BDC3∠BAC求BC的长醔醓15求所满足列条第第第第ABCDE第第第第MCDAB第第第第第CBAD33的四位数abcd2()abcdabcd=+中数c可是代醔四醓15整数n满足条任意n个大于1且超过2009的两两互素的整数中少一个素数求最小的n醔五醓15若两个实数a,b,使得,2ab+2ab+都是理数数对a,b是和谐的醔鄇试找一对无理数使得ab是和谐的鄈证明若ab是和谐的且a+b是等于1的理数则a,b都是理数鄉证明若ab是和谐的且ab是理数则a,b都是理数2009知杯海市初中数学竞赛参考解答一醓填空第1-5小8第6-10小10共90341醓对于任意实数a,b定,a∗b=a(a+b)+b,已知a∗2.5=28.5则实数a的值是醔醟答案醠4132−2醓在角形ABC中22b1,,2aABBCaCA=−==中a,b是大于1的整数则b-a=醔醟答案醠03醓一个行四边形可被92个边长为1的角形它的周长可能是醔醟答案醠50,944醓已知关于x的方程4322(3)(2)20xxkxkxk++++++=实并且所实的为−2则所实的方和为醔醟答案醠5边5醓如图直角角形ABC中,AC=1BC2P为斜小值AB一动点醔PE⊥BC