云师堂,高考数学,2017一轮复习第七章第6讲

第6讲数学归纳法第六章不等式、推理与证明栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明1．辨明两个易误点(1)数学归纳法证题时，误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3.(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明2．明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．0C栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是()A．2k＋2B．2k＋3C．2k＋1D．(2k＋2)＋(2k＋3)D栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明考点一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n（2n＋2）＝n4（n＋1）(n∈N*)．[证明](1)当n＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14×（1＋1）＝18.左边＝右边，所以等式成立．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＝k4（k＋1），则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＋12（k＋1）[2（k＋1）＋2]＝k4（k＋1）＋14（k＋1）（k＋2）＝k（k＋2）＋14（k＋1）（k＋2）栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明＝（k＋1）24（k＋1）（k＋2）＝k＋14（k＋2）＝k＋14（k＋1＋1）.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)、(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明用数学归纳法证明恒等式的注意事项(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立.(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明1.设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)f（k＋1）－1k＋1－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，所以当n＝k＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明考点二用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式2＋12·4＋14·…·2n＋12nn＋1.[证明](1)当n＝1时，左式＝32，右式＝2，左式右式，所以结论成立．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k＋12kk＋1，则当n＝k＋1时，2＋12·4＋14·…·2k＋12k·2k＋32（k＋1）k＋1·2k＋32（k＋1）＝2k＋32k＋1，由2k＋32＝（k＋1）＋（k＋2）2（k＋1）（k＋2），可得2k＋32k＋1k＋2，栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明所以，当n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，n∈N*时，不等式2＋12·4＋14·…·2n＋12nn＋1成立．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明数学归纳法证明不等式的注意事项(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明2.已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a2n＋1＋an＋1－1＝a2n.求证：当n∈N*时，anan＋1.证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程a22＋a2－1＝0的正根，所以a1a2.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤akak＋1，则由a2k＋1－a2k＝(a2k＋2＋ak＋2－1)－(a2k＋1＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)0，得ak＋1ak＋2，即当n＝k＋1时，anan＋1也成立．根据(1)和(2)，可知anan＋1对任何n∈N*都成立．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明考点三归纳—猜想—证明已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n3，g(n)＝32－12n2，n∈N*.(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明[解](1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝98，g(2)＝118，所以f(2)g(2)；当n＝3时，f(3)＝251216，g(3)＝312216，所以f(3)g(3)．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1，2，3时，不等式显然成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k332－12k2，那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋1（k＋1）332－12k2＋1（k＋1）3，栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明因为12（k＋1）2－12k2－1（k＋1）3＝k＋32（k＋1）3－12k2＝－3k－12（k＋1）3k20，所以f(k＋1)32－12（k＋1）2＝g(k＋1)，由①、②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明“归纳——猜想——证明”的模式“归纳——猜想——证明”的模式是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明3.(2016·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)将n＝1，2，3分别代入可得a1＝32，a2＝74，a3＝158，猜想an＝2－12n.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(2)证明：①由(1)得n＝1时，命题成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即ak＝2－12k，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，所以2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，所以2ak＋1＝2＋2－12k，ak＋1＝2－12k＋1，即当n＝k＋1时，命题也成立．根据①、②得，对一切n∈N*，an＝2－12n都成立．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放