高中数学立体几何建系设点专题

12009-2010学年高三立几建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例1（湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高都为2，AB＝4．（1）证明：PQ⊥平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到平面QAD的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线CADBQP，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQPB，，，，，，1cos3AQPBAQPBAQPB，．所求异面直线所成的角是1arccos3．（3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)DADPQ，，，，，，，，．设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则00AQAD，，nn得200xzxy，，取x＝1，得(112)，，n=．点P到平面QAD的距离22PQdnn．途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．例2（全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABCABC中，AB＝BC，D、E分别为11BBAC，的中点．（1）证明：ED为异面直线1BB与1AC的公垂线；（2）设12AAACAB，求二面角11AADC的大小．解：（1）如图2，建立直角坐标系Oxyz，其中原点O为AC的中点，设(00)Aa，，则，1(00)(02)BbBbc，，，，，，2QMABDCOPxyzMABDCOPxyz则11(00)(002)0EDbBBcEDBB，，，，，，，即1EDBB⊥．同理1EDAC⊥．因此ED为异面直线1BB与1AC的公垂线．（2）不妨令1abc，则1(110)(110)(002)BCABAA，，，，，，，，，100BCABBCAA，．即BC⊥AB，BC⊥1AA，又∵1ABAAA，∴BC⊥面1AAD．又(101)(101)(010)0ECAEEDECAE，，，，，，，，，，0ECED，即EC⊥AE，EC⊥ED，又∵AE∩ED＝E，∴EC⊥面1CAD．∴1cos2ECBCECBCECBC，，即得EC和BC的夹角为60．所以，二面角11AADC为60．练2：如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,EFO分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．例3．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC，OAABCD底面，2OA，M为OA的中点。（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。方法1：作APCD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为,,xyz轴建立坐标系.3方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD，设交AC于E，取OC中点为F，以E为原点，EB、EC、EF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.练3：在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为32的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1A⊥BC；（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A1—AC—B的大小余弦值；二、求点的坐标的两条途径途径一、作该点在xOy面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。途径二、过该点和z轴作xOy面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。例4.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为2a建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A（0，0，0）B（0，a,0）A1（0，0，2a),C1（-23a,a2,2a)(2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M，于是M（0，a2,2a），连结AM，MC1则有13(,0,0)2MCa(0,,0)ABa，1(0,02)AAa，∴10MCAB，110MCAA，所以，MC1⊥平面ABB1A1因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角13(,,2)22aACaa，(0,,2)2aAMa，2194aACAM,而|13||3,||2ACaAMa由cos1,ACAM=1132||||ACAMACAM,1,ACAM=30°ABOCDA1B1C1ABOCDA1B1C1xzyABCA1B1C1MzyxABCA1B1C1Mzyx4解法二：13(,,2)22aACaa，平面ABB1A1的一个法向量(1,0,0)n∴AC1与侧面ABB1A1所成的角的正弦为：1sincos,ACn=1112||||ACnACn∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。（1）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面,,,60,ABCDABADACCDABC,PAABBCE是PC的中点.（2）如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．APEBCDABCD1A1C1B52009-2010学年高三立几建系设点专向练习1.在正方体A—C1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正弦值为（）A．sin36B．sin33C．sin26D．都不对解：（向量法）建立以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的坐标系，设棱长为1设平面A1FCE的法向量n=（x，y，z）,则n·FC=0，n·CE=0∵FC=（－1，21，0），CE=（0，－21，1）∴1102211022xyxyyzzy,令y=2,∴n=（1，2，1）又∵11AB=（0，1，0）∴cosn,11AB=222226121∴A1B1与平面A1FCE成的角的正弦为sin36答案：A2.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．22B．515C．46D．36C方法：建立如图2所示的空间直角坐标系，设AB=2，则113,1,0,(3,1,2)CAC、A0,0,2，平面BB1C1C的一个法向量为(1,0,0)n，所以AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为113648ACnACn。63.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD与B1C的距离。解：建立空间直角坐标系（如图），则B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0）B1（0，0，1），则111(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)BDBCBB设与1,BDBC都垂直的向量为(,,)nxyz，则由0BDnxy和10,BCnxz1,x令得1,1yz，(1,1,1)n异面直线BD与B1C的距离：111||13|cos,|33BBndBBBBnn4.四棱椎P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PCD为正三角形，平面,ABCDPCD平面PBPDEAC为,中点.（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E—AC—D的大小.解：设bADaCD,，过,,HCDPHP垂足为作ABCDPCD平面平面PH平面ABCD，又是矩形底面ABCD故可以分别以OH、HC、HP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系H-xyz。由已知得H（0，0，0）,A（a,-b,0）,B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,-b,0),P(0,0,b3),E()2320bb，，（)0,2,(),3,,(baACbbaPB,0222baACPBACPB解得ba2，)0,2,2(bbAC，)23,23,0(bbEC02323022),,(bzbyECnbybxACnEACzyxn的一个法向量，是平面设取y=1,得的一个法向量为平面ACDbHPn)3,0,0(),3,1,2(22363,cosbbHPnHPnHPn4的大小为二面角DACEABCDA1B1C1D1xzy7ABCDEFPoxzy5.如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，60ABC，EF，分别是BCPC，的中点．（1）证明：AEPD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角EAFC的余弦值．（2）方法：由（1）知AEADAP，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为EF，分别为BCPC，的中点，所以(000)(310)(310)(020)ABCD，，，，，，，，，，，，31(002)(300)122PEF，，，，，，，，，所以31(300)122AEAF，，，，，．设平面AEF的一法向量为111()xyz，，m，则00AEAF，，mm因此11113031022xxyz，．取11z，则(021)，，m，因为BDAC，BDPA，PAACA，所以BD平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．又(330)BD，，，所以2315cos5512BDBDBD，mmm．因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为155．6.如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD（1）求cos〈AB，PD〉的值；（2）若E为AB的中点，F为PD的中点，求|EF|的值；（3）求二面角P—BC—D的大小解：（1）选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间PBECDFAyzxPBECDFA8直角坐标系，则A（0，－2a，0），B（23a，0，0），P（0，0，23a），D（0，2a，0）∴AB=（23a，2a，0），PD=（0，2a，－23a），则cos〈AB，PD〉=||||ABPDABPD=2222223300()22233()()00()()2222aaaaaaaa=41（2）∵E、F分别为AB、PD的中点，∴E（43a，－4a，0），F（0，4a，43a）则|EF|=22233(0)()(0)4444aaaa=410a（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥面ABCD∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC连结PB，则PB⊥BC，∴∠PBO为二面角P—BC—D的平面角在Rt△PBO中，PO=23a，BO=23a，∴tan∠PBO=BOPO=aa2323=1则∠PBO=45°故二面角P—BC—D的大小为45°7.如图，四棱锥PABCD中，P