选修2-2第一章-1.4《生活中的优化问题举例》-(共32张PPT)

导数及其应用1.4生活中的优化问题举例学习目标•1、体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，•2、形成求解优化问题的思路和方法。•3、通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养自己发散思维能力。•4、提高将实际问题转化为数学问题的能力。问题一：导数在研究函数中有哪些应用？问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决生活中的什么问题有什么作用呢？问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢？生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．问题1：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有几个方面？1、与几何有关的最值问题；2、与利润及其成本有关的最值问题；3、效率最值问题。问题2：解决优化问题的方法有哪些？首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．问题3：解决优化问题的的步骤是怎样的？1、海报版面尺寸的设计例1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？【分析】先建立目标函数，然后利用导数求最值.【规范解答】【引申思考】一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值。答在实际问题中，由于=0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。【一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法？【变式练习】在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？xxxx6060【规范解答】【一题多解】【反思提高】事实上，可导函数260)(322xxhxxV、xxxV2)260()(在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值奎屯王新敞新疆【问题引领】2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm【问题】（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【分析】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.【规范解答】由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是332240.20.80.8,0633ryfrrrrr令20.8(2)0frrr解得2r（0r舍去）当0,2r时，0fr；当2,6r时，0fr．当半径2r时，0fr它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；当半径2r时，0fr它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．（1）半径为2cm时，利润最小，这时20f，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为6cm时，利润最大．【新视角解答】我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式：220.8,063rfrrr。图象如图，能否根据它的图象说出其实际意义？当0,2r时，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm时，利润最小；当2,6r时，fr为增函数，其实际意义为：瓶子的半径大于2cm时，瓶子的半径越大，利润越大。特别的，当3r时，30f，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等，3r时，利润才为正值．当2r时，20f，即瓶子的半径为2cm时，饮料的利润最小，饮料利润还不够饮料瓶子的成本，此时利润是负值。【背景知识】3.磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。【问题】现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？【规范解答】由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达Rrm。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2rn。所以，磁盘总存储量()frRrm×2rn2()rRrmn（1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．（2）为求()fr的最大值，计算()0fr．2()2frRrmn令()0fr，解得2Rr，当2Rr时，()0fr；当2Rr时，()0fr．因此2Rr时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为224Rmn【例题小结】根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤.（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式yfx，并确定函数的定义区间；（2）求'fx，解方程'0fx，得出所有实数根；（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．【特别提醒】巩固练习1.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多?(不到100人不组团)【分析】先列出问题的文字模型(标准收费数-降低的收费数),再转化为数学模型.设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y则依题意有()fx=1000x-5（x-100）x（100≤x≤180），令()1500100fxx得x=150。又(100)100000f，(150)112500f，(180)108000f所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。【规范解答】1．导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几种类型：（1）与几何（长度、面积、体积等）有关的最值问题；（2）与物理学有关的最值问题；（3）与利润及其成本（效益最大、费用最小等）有关的最值问题；（4）效率最值问题。2.利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答作业：求下列各函数的最值．(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．