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-1-眼科病床的合理安排摘要本文是关于某医院眼科门诊对不同病人类型的病床分配问题的研究。在充分理解题意的基础上，我们提出了合理的假设。通过对问题的深入分析，我们将本题归结为排队论问题，但由于本问题的限制条件有星期对手术安排的影响，比较特殊，所以我们区别于一般的排队论模型，建立了基于排队论FCFS的改进模型。问题一是关于评价指标的确定。我们查阅了与排队论相关的资料，并结合题意，得到了适用于本题的评价指标体系，包括病人等待及逗留时间、等待队长、系统繁忙概率、病人等待概率等指标。对于问题二。我们仔细分析了题中给出的病人出入院时间，得到：队长其实一直处于动态稳定的过程当中，但如果医院一开始就按照FCFS的原则进行安排，则不会有虽平衡长达100人左右的等待队长，而且病人普遍等待时间过长（平均约有16天）。对病人来说，只要等待和逗留时间短，满意度依然是高的，同时会减少等待队长。所以我们建立了目标为降低病人等待和逗留时间的优化模型，并用mathematic5.0编程用优化模型，不仅可以根据当前情况对第二天入院病人作出安排，还对2008-7-13至2008-9-11间入院并出院的病人进行计算，得到结果比医院的原方案共节省961天，平均每人节省2-3天，优化程度较大。问题三为提前预计允许服务的任务。在问题二的基础上，我们只要对用优化模型已经求出的数据进行分类统计，并根据不同情况作出频数图，即可根据当前情况为各种病人提供大致可入院的时间。问题四为根据增加的限制条件讨论安排方案是否变化的任务。我们在问题二的基础上增加了周六周日不手术的限制，结果表明手术安排方案不必调整。问题五为求最优方案的模型。此问我们建立优化模型的等待时间尽量少的目标函数和限制条件，用lingo求解，但是结果显示无适合解，这说明，如果要分配每类病人的床位数而使等待时间最少，需要增加少量床位（至少3张）。最后，在评价模型的基础上，我们又提出了两个分别对问题二、五的改进模型和两个分别对问题二、三的改进方向。为了更方便地根据对二问的安排，我们建立了一个对等待中病人的入院优先级进行打分的模型，根据不同类的病人，分星期对入院的影响和等待时间的长短进行打分，其中由于星期对白内障入院影响较大，其分数的权值也会随之改变，而星期对其他的病人的优先级分数则无贡献，另保证了外伤病人优先级最高。最后只要对排队中的病人进行打分并降序排列，取前次日出院人数的病人安排入住。对问题五的改进中，我们计算了增加3张到10张的床位，分别求得各床位数量的具体情况，用问题一的体系进行评价，得到交友解为增加3张，分配给白内障、青光眼、视网膜疾病和外伤（应急需要，故也设置）分别有23张、15张、42张、2张，比例分别约为28%、19%、51%、2%。对问题二改进方向上，我们提出了一种图解的思路，用极坐标直观方便地可解得所需解。对问题三的改进方向上，可以用蒙特卡洛法模拟近期在院病人的出院情况，从而更有针对性，更有效地预测病人可入院时间。关键词：眼科门诊；床位安排；排队论；优先级；计算机模拟-2-1.问题重述某医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。各类手术的相关情况如下：白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。各类病人的情况(2008年7月13日至2008年9月11日)见原题。现有以下问题：问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。2.模型假设-3-1.问题开始时的队长为0；2.看过门诊的病人全部需要手术，而且不会因为等待时间过长而放弃手术；3.每个病人的住院天数从入院当天的时候开始计算，到出院的前一天为止(不含出院当天)。即前一个病人出院当天病床可以接纳新的病人。3.符号说明符号说明S病床数R平均每天就诊病人数T平均住院时间Pwait病人等待的概率qW病人平均等待时间qL系统平均等待队长sW顾客平均逗留时间sL系统平均队长iS眼病类型为i的病人所占的病床数t日期代号(以2008-7-13为0)tBed第t天患者入院前空床位数(_)ScoreWq优先级分数病人类型号说明：1-单眼白内障；2-双眼白内障；3-青光眼；4-视网膜疾病；5-外伤。其余的符号在文中另外说明。4.问题的分析根据题意可以得到该眼科医院的手术安排管理的原则，且这些原则是不能改变的：表1：手术安排管理原则时间安排原则术前准备术后观察备注白内障周一或周三1-2天不定白内障(双眼)周一一只周三另只2-3天3，4天视网膜疾病非周一、三2-3天较长青光眼非周一、三较长外伤入院第二天较长若有病床，马上入院-4-在数据处理上，由于日期的计算比较麻烦，而且在问题中有星期的约束，为方便计算，我们首先在数据处理时将日期改为编号，即以2008-7-13(星期日)开始为第0天，到2008-9-11（星期四）为止为第60天。在数据采信上，由于第一天门诊有以外伤，其第二天才入院，而根据题意，对待外伤的入院时间安排是如有病床，马上入院，所以明显地，一开始病床使用率已为100%。根据根据统计情况的图一(每天出入院人数与队长大小变化)所示，之前一段时间出入院的人数为零或很小，且入院人数总是大于出院人数，而队长一开始增长速度极快，到第11天左右才达到平衡点，而之后的队长数量则没有上升，一直维持动态平衡(统计数据间附录1)。究其原因，是因为一开始病床全满，而这部分病人的出院没有计算在内，并且一开始并未入院的病人在这期间内也入院并做好了手术，所以这使前10天的队长没有可信度，我们考虑将其忽略。0102030405060020406080100120图1每天出入院人数与队长大小变化队长变化队长值入院人数出院人数4.1.问题一这个问题属于排队论问题，对于一般的排队问题，主要的指标有：队长、等待时间、忙期等；一般问题的具体指标如下：1)系统中的顾客数(包括正在接受服务的顾客数目)的平均值；2)在队列中等待服务的顾客数的平均值(不包括正在接受服务的顾客数目)；3)平均一顾客在系统中停留的时间(包括服务时间)；4)平均一顾客停留在列队中的时间(不包括服务时间)；5)顾客到达系统平均速度-顾客到达系统间隔时间的均值；6)系统中服务台的服务速度-服务台对每一顾客服务时间的均值；7)系统忙期。对于这个问题所需采用的指标将在模型建立中作具体分析。而根据统计数据得到，病床使用率一直都是100%满负荷，这样病床的使用率已经达到最大，似乎没有提高效率的余地。然而比较住院的各段时间可以得到：在手术间期、术后观察两段时间上，医院都是根据原则并结合各病人的情况安排时间的，没有减少的空间；而在术前准备上，青光眼、视网膜疾病和外伤三种病人的时间全部满足要求(2-3天)，但是对于白内障，尤其是双眼白内障的病人的准备时间大多都过长，有的甚至达到7天，算上等待时间，白内障病人在医院的逗留时间甚至达到了十多天，根据题意要求的准备时间只需要1-2天，其多余的天数对医院来说相当于空置，没有充分利用，而且对病人也只是多付住院费用，使其对医院的满意度下降。计算减去这些多余天数，得到可能的最大有效床位使用率为94.13%，可能的最小有效床位使用率为90.54%(算法说明：在计算中，排除白内障及双眼准备时间为1天或2天的病人，其他病人以1天为准备时间的算为可能的最小值，以2天的算为可能的最大值)。-5-病人受到医院服务的排队论问题图示如下：入院离开…1#病床2#病床79#病床门诊病人到达入院离开…1#病床2#病床79#病床门诊病人到达接着，我们根据对队长的分析，可以明显的看出在数据可信的情况下，我们所求得的队长是相对稳定的，达到了一个动态平衡。所以在79张病床这个约束条件下，要想缩短队长是不可能，所以我们对模型的优化只能从其他方面入手。比如减少病人的平均等待时间，提高病人对医院的满意度等。4.2.问题二在设置模型的过程中，由于其他病人都是按照排队的原则进行的，而外伤的病人则无需排队时间，如图2(不同病人的等待时间)可以看出：所有的外伤在门诊的第二天就入院，而其他四种情况的病人都比较高，并且在同一水平附近呈动态平衡。所以在建立模型时，我们将问题分成两部分，在排队论里，外伤病人属于优先服务，而医院对其他病人采取的为先到先服务，所以将两类病人分开，即白内障、白内障双眼、青光眼、视网膜疾病为一部分，外伤为单独的另一部分。白内障白内障(双眼)青光眼视网膜疾病外伤05101520图2不同病人等待时间（天）4.3.问题三病人希望尽早知道自己的住院时间。现在我们要根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。我们可以通过已经给出的数据算出５类病人（单眼白内障和双眼白内障分别算两类）的平均康复时间，再由波动的时间范围，取出随机天数的区间，产生随机数分别对每天出院的人数进行预测，即可以预测病人大致入住医院的区间了。4.4.问题四周末不能做手术，但是可以看门诊，对已经住院的病人也可以进行手术准备，所以得到以下规定：1)双眼白内障病人和单眼白内障病人约束条件不变，因为手术时间都在周一或者-6-周三，所以没有影响。2)对于外伤病人，周四周五看门诊的病人，周五周六都不能动手术，但是考虑到时外伤，我们让病人先住进医院，而手术全部推迟到周一。3)对于青光眼和视网膜疾病的病人，因为他们的手术准备时间在2~3天，我们假设为2天。且不在周一和周三动手术，周末也不行，所以能做手术时间为2，4，5可能入院的时间就在6，1，2。4.5.问题五为了便于管理医院病床安排采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案。我们通过对第一阶段的数据进行分析，因为白内障病的治疗时间是比较固定的，所以在治疗的高峰时间段里占用病床的白内障病人就会相对较多。类似地，在其他时间里白内障病人相对较少，而其他病人人数较多，如果不改变治疗顺序的策略，仅仅对病床进行相对固定的比例分配。管理变得方便了，但是病床的使用率会降低，对医院的效率有较大的影响。我们建立一个模型，求得使得比例大致固定时的最短逗留时间。5.模型的建立与求解5.1.问题一根据问题一的分析，以天为时间单位，如果不加任何约束，只按FCFS(Firstcome,Firstserve)规则安排住院，为简化模型假设患者到达过程为Poisson流，根据已给的数据平均每天有7人到达，住院时间服从负指数分布，平均需要9