选修4-4-坐标系与参数方程

一、平面直角坐标中的坐标伸缩变换：(0):(0)xxyy(,)Pxy设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点则称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.二、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。XO三、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。对于点M（，）为负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=OXPM2、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点（3，/4）和（－3，/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M3、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。负极径小结：极径变为负，极角增加。特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…注意：①一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标.②如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.五:极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)，极坐标是(ρ,θ)1.极坐标转化为直角坐标公式：x=ρcosθ,y=ρsinθ2.直角坐标转化为极坐标公式：ρ2=x2+y2，tanθ=(x≠0)yx2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度单位相同.注意：互化公式的三个前提条件1.极点与直角坐标系的原点重合;曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为(r,0),半径为r的圆圆心为,半径为r的圆(,)2r(02)r2cos()22r2sin(0)r六.特殊曲线的极坐标方程过极点,倾斜角为的直线过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线(,0)a(,)2a(1)()()RhuoR(2)(0)(0)hecos()22asin(0)a一.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)在这曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出的坐标间关系的方程叫做普通方程.()()xftygt①二.参数方程和普通方程的互化1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程不同形式,一般可以通过消去参数而从参方程得到普通方程.2.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.()()xftygt注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一.应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.。三.特殊曲线的参数方程sincosryrxx2+y2=r2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。（θ为参数）（θ为参数）1.圆的参数方程2222y1,abxsinbycosax2222y1,baxsinaycosbxsinbycosa),(0000yxxyxC参数方程是的椭圆的中心在2.椭圆的参数方程（ab）（φ为参数）（φ为参数）（φ为参数）其中φ称为离心角,规定参数φ的取值范围是[0,2)3.抛物线的参数方程oyxHM(x，y)2抛物线y=2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当=0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y经过点，倾斜角为的直线l的普通方程是而过，倾斜角为的直线l的参数方程为。4.直线的参数方程（重点）000(,)Mxy()200tan(),yyxx000(,)Mxy()200cossinxxtyyt()t为参数直线参数方程中参数的几何意义：t表示直线l上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量当点在上方时，t＞0；当点在下方时，t＜0;当点与重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。4.参数t的几何意义0M(,)Mxy0MM0M(,)Mxy0MM选修4-4：P36例1，P37例21.参数方程是椭圆的参数方程.cosxasinyb2.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab另外,称为离心角,规定参数的取值范围是[0,2)cos,sin.xaXyb焦点在轴cos,sin.xbYya焦点在轴2.椭圆的参数方程（φ为参数）双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'Asec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3[,2)22o通常规定且，。⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式22221xyab22sec1tan相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.