两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C(α－β))②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))⑤tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T(α－β))⑥tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T(α＋β))(2)公式变形①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．②tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．2．二倍角公式(1)公式①sin2α＝2sin_αcos_α，②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，③tan2α＝2tanα1－tan2α.(2)公式变形①cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；②1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sin)4(.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×)(6)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．(√)(7)若α＋β＝π4，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sinα＋cosβ.(×)(9)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(√)(10)y＝1－2cos2x的x无意义．(×)考点一三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1](1)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°)5tan5tan1(00；解：原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°)5cos5sin5sin5cos(0000＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.(2)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2α·cos2β.解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－12cos2α·cos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2α·cos2β＝cos2β－sin2α·cos2β－12cos2α·cos2β＝cos2β－cos2β·)2cos21(sin2＝1＋cos2β2－cos2β·sin2α＋121－2sin2α＝1＋cos2β2－12cos2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2α·cos2β＝14(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－12·cos2α·cos2β＝12.[方法引航]给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：1观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.2观察名，尽可能使函数统一名称.3观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin50°(1＋3tan10°)．解：sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.2．在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值为________．解析：因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝2π3，A＋C2＝π3，tanA＋C2＝3，所以tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2＝tan)22(CA)2tan2tan1(CA＋3tanA2tanC2＝3)2tan2tan1(CA＋3tanA2tanC2＝3.考点二三角函数式的给值求值命题点1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值2.已知某角的三角函数值，求三角函数的值3.已知三角函数式的值，求三角函数值[例2](1)(2016·高考全国丙卷)若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A．－45B．－15C.15D.45解析：法一：cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝45.故选D.法二：由tanθ＝－13，可得sinθ＝±110，因而cos2θ＝1－2sin2θ＝45.答案：D(2)已知tan)4(＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sinsin22等于()A．－255B．－3510C．－31010D.255解析：由tan)4(＝tanα＋11－tanα＝12，得tanα＝－13.又－π2＜α＜0，所以sinα＝－1010.故)4cos(2sinsin22＝2sinαsinα＋cosα22sinα＋cosα＝22sinα＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则12cos2sin)4sin(＝________.解析：2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝0则(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，由于α∈)2,0(，sinα＋cosα≠0，则2sinα＝3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，∴12cos2sin)4sin(＝22sinα＋cosαsinα＋cosα2＋－sin2α＋cos2α＝268.答案：268[方法引航]三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：1已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.2已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.3已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan)6(的值．解：tan)6(＝tanπ6＋tanθ1－tanπ6tanθ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin2θ－sinθcosθ－3cos2θ的值．解：原式＝2sin2θ－sinθcosθ－3cos2θsin2θ＋cos2θ＝2tan2θ－tanθ－3tan2θ＋1＝2×－132＋13－3－132＋1＝－115.3．已知cos)2(＋sin)32(＝235，则cos)32(＝________.解析：由cos)2(＋sin)32(＝235，得sinα＋sin2π3cosα－cos23πsinα＝235∴32sinα＋32cosα＝235，即3sin)6(＝235，∴sin)6(＝25，因此cos)32(＝1－2sin2)6(＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三已知三角函数式的值求角命题点1.利用弦函数值求角2.利用切函数值求角[例3](1)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________.解析：∵cosα＝17，0＜α＜π2.∴sinα＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314.则cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2)31(1312＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π.答案：－34π[方法引航]1.解决给值求角问题应遵循的原则(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(，选正弦较好．2．解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4解析：选C.∵α，β为钝角，sinα＝55，cosβ＝－31010，∴cosα＝－255，sinβ＝1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(，∴α＋β＝7π4.2．已知tanα＝－13，cosβ＝55，α∈),2(，β∈)2,0(，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝55，β∈)2,0(，得sinβ＝255，tanβ＝2.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－13＋21＋23＝1.∵α∈),2(，β∈)2,0(，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例]某同学在一次研究性学习中发现，以下五