七年级数学(下册)8.4因式分解皖西中学分校数学组平方差公式反过来就是说:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a²-b²=(a+b)(a-b)因式分解平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²整式乘法2ab2ab222aabb222aabb现在我们把这个公式反过来很显然,我们可以运用以上这个公式来分解因式了,我们把它称为“完全平方公式”完全平方式的特点:1、必须是三项式222首首尾尾2、有两个平方的“项”3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍222aabb222aabb练习题:1、下列各式中,能用完全平方公式分解的是()A、a2+b2+abB、a2+2ab-b2C、a2-ab+2b2D、-2ab+a2+b22、下列各式中,不能用完全平方公式分解的是()A、x2+y2-2xyB、x2+4xy+4y2C、a2-ab+b2D、-2ab+a2+b2DC3、下列各式中,能用完全平方公式分解的是()A、x2+2xy-y2B、x2-xy+y2C、D、4、下列各式中,不能用完全平方公式分解的是()A、x4+6x2y2+9y4B、x2n-2xnyn+y2nC、x6-4x3y3+4y6D、x4+x2y2+y4221x-2xy+y4221x-xy+y4DD2132xy5、把分解因式得()A、B、6、把分解因式得()A、B、221394xxyy2134xy224493xyxy223xy243xyBA7、如果100x2+kxy+y2可以分解为(10x-y)2,那么k的值是()A、20B、-20C、10D、-108、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式,那么m的值为()A、6B、±6C、3D、±3BB9、把分解因式得()A、B、C、D、10、计算的结果是()A、1B、-1C、2D、-2244abab21ab21ab22ab22ab2210021009999CA例3分解因式:(1)4x2–9;(2)(x+p)2–(x+q)2.分析:在(1)中,4x2=(2x)2,9=32,4x2-9=(2x)2–32,即可用平方差公式分解因式.在(2)中,把(x+p)和(x+q)各看成一个整体,设x+p=m,x+q=n,则原式化为m2-n2.(1)4x2–9=(2x)2–32=(2x+3)(2x–3).(2)(x+p)2–(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)]=(2x+p+q)(p–q).例4分解因式:(1)x4—y4;(2)a3b—ab.分析:(1)x4-y4写成(x2)2-(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解.解:(1)x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.解:-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2.例5分解因式:–x2+4xy–4y2.例6分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a+b)2-12(a+b)+36.分析:在(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解.解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.将a+b看作一个整体,设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36.在因式分解时,如果发现各项中含有公因式,应该先把它提出来,然后再进一步因式分解.例如:例2把下列各式因式分解:(1)-2x4+32x2(2)3ax2-6axy+3ay2解:(1)-2x4+32x2=-2x2·x2-2x2·(-16)=-2x2(x2-16)=-2x2(x+4)(x-4)=3a·x2-3a·2xy+3a·y2=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2解:(2)3ax2-6axy+3ay2对于一个多项式,应该先看它有几项,含有哪些字母,各项有没有公因式,提出公因式后能否继续分解应用提高、拓展创新1.把下列多项式分解因式,从中你能发现因式分解的一般步骤吗?(1);(2);(3);(4)(5).44yx33abba22363ayaxyax22)()(qxpx36)(12)(2baba归纳:(1)先提公因式(有的话);(2)利用公式(可以的话);(3)分解因式时要分解到不能分解为止.2.证明:连续两个奇数的平方差可以被8整除.思考题:1、多项式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?2、在括号内补上一项,使多项式成为完全平方式:X4+4x2+()小结:1、是一个二次三项式2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解完全平方式具有:1.利用因式分解计算:1002-992+982-972+962-952+…+22-12【解析】原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1)=199+195+191+…+3=50502.(2010·江西中考)因式分解:2a2-8=___________.【解析】原式=答案:3.(2010·珠海中考)因式分解:=______.【解析】先提公因式,再利用平方差公式分解因式;即a(x2-y2)=a(x+y)(x-y)答案:a(x+y)(x-y)2)2)(a2(a4)2(a22)2)(a2(a22ayax4.(2010·东阳中考)因式分解:x3-x=___.【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)答案:x(x+1)(x-1)5.(2010·盐城中考)因式分解:=______.【解析】原式=(x+3)(x-3).答案:(x+3)(x-3).92x6.(2010·杭州中考)分解因式m3–4m=.7.(2010·黄冈中考)分解因式:x2-x=_____.【解析】原式=x(x-1).答案:x(x-1).【解析】m3–4m=m(m+2)(m-2).答案:m(m+2)(m-2)8.计算:7652×17-2352×17【解析】7652×17-2352×17=17(7652-2352)=17(765+235)(765-235)=17×1000×530=90100009.20102+2010能被2011整除吗?【解析】∵20102+2010=2010(2010+1)=2010×2011∴20102+2010能被2011整除.10.(2010·眉山中考)把代数式分解因式,下列结果中正确的是()A.B.C.D.11.(2010·黄冈中考)分解因式:2a2–4a+2269mxmxm2(3)mx(3)(3)mxx2(4)mx2(3)mx269mxmxm【解析】选D.=m(x2-6x+9)=m(x-3)2.【解析】2a2–4a+2=2(a2–2a+1)=2(a–1)2答案:2(a–1)212.(2010·杭州中考)因式分解:9x2-y2-4y-4=_____.(32)(32).xyxy13.(2010·常德中考)分解因式:22(3)(2)(32)(32).xyxyxy269___________.xx2x32x3【解析】原式是一个完全平方式,所以x2+6x+9=答案:【解析】9x2-y2-4y-4=9x2-(y2+4y+4)=答案:14、用平方差公式进行简便计算:(1)999²-998²(2)229²-171²(3)91×89(4)把9991分解成两个整数的积。15、找规律32-12=8×1,52-32=8×2,(1)72-52=_________,(2)92-72=_________(3)()2-92=8×5;…请归纳上述各式所反映的一般规律,并加以说明理由。8×38×411(2n+1)2-(2n-1)2=8n16、(2005年浙江省)在日常生活中如上网等都需要密码,有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译。例如用多项式x4-y4因式分解的结果(x-y)(x+y)(x2+y2)来设置密码,当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”。你知道这是怎么来的吗?小明选用多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)2、计算:25×2652-1352×25选做题:1、分解因式:22cbacba4、已知x+y=7,x-y=5,求代数式x2-y2-2y+2x的值.5、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.3、1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?6、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年多大年龄?”狄摩根想了想说:“今年,我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141,你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗?”假设狄摩根的年龄为x岁,他弟弟的年龄为y岁,你能算出他们的年龄吗?今天你有什么收获?你还有什么疑问吗?课下作业,巩固新知习题15.4,2、3、5.