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12006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）B题:艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mgzidovudine或400mgdidanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine（扎西他滨）；600mgzidovudine加400mgdidanosine；600mgzidovudine加400mgdidanosine，再加400mgnevirapine（奈韦拉平）。请你完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。(3)艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mgzidovudine1.60美元，400mgdidanosine0.85美元，2.25mgzalcitabine1.85美元，400mgnevirapine1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。2艾滋病疗法评价及疗效预测作者：刘坤邵定夫张亚兰（2006年“高教”杯全国赛B题国家一等奖）摘要艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，虽然有一些针对艾滋病的疗法，但迄今为止还没有关于这些疗法疗效的评价和预测方法，因此合理评价艾滋病疗法及预测其疗效有着重要的意义。在处理问题(1)时，本文首先将CD4与HIV之间的相互作用与人类战争类比，利用一阶常系数微分方程组建立了模型Ⅰ,即“战争模型”。基于该模型，给出了病人接受治疗后体内CD4与HIV含量的变化规律。接着利用曲线拟合方法，建立了模型Ⅱ，给出了CD4与HIV含量的变化趋势曲线。另外，还建立了基于BP神经网络的预测模型Ⅲ，对测试期后的CD4和HIV含量变化进行了预测。三个模型得出的结论均为：应该从第38周起停止用药。在处理问题(2)时，本文提出了“药物效用力”概念，基于超调量和峰值时间指标，建立了模型Ⅳ，即药效评价模型。将病人分为25岁以下、25岁至45岁、45岁以上等三个年龄段，得到这些年龄段病人的最优疗法分别是第4种、第3种和第4种。接着，本文用BP神经网络预测了这几种最优疗法继续使用的疗效，发现采用第4种疗法的3第一类病人应该在第40周停药，另外两类病人可以在一段时间内继续使用他们的最优疗法。另外，考虑到治疗方案可能是多种疗法的组合，因此建立了以疗效最大为目标函数的规划模型Ⅴ。从中得出在治疗期内最佳的治疗方案为：第一类和第三类病人一直使用第4种疗法；第二类病人使用第3种疗法31周，使用第四种疗法9周。问题(3)要求考虑病人的经济承受能力。本文建立了以疗效最大和花费最少为目标函数的双目标规划模型Ⅵ。利用偏好系数加权法，将双目标转化为单目标。在考虑了病人的经济承受能力之后，提出了合理的约束条件，并以我国为例，求解出在治疗期间内的最佳治疗方案为：第一类病人使用第3种疗法16周，使用第4种疗法24周；第二类病人使用第1种疗法34周，使用第3种疗法3周，使用第4种疗法3周；第三类病人使用第1种疗法16周，使用第3种疗法24周。最后，本文对治疗时用药量的选择进行了讨论，提出了药物量的最优选择模型，基于该模型的特点，建议用大系统总体优化方法和模拟退火混合遗传算法求解该模型。关键词：战争模型BP神经网络疗效预测疗效评价最优化4一、问题的背景艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。5二、问题的提出与重述现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mgzidovudine或400mgdidanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine（扎西他滨）；600mgzidovudine加400mgdidanosine；600mgzidovudine加400mgdidanosine，再加400mgnevirapine（奈韦拉平）。请你完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。6(3)艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mgzidovudine1.60美元，400mgdidanosine0.85美元，2.25mgzalcitabine1.85美元，400mgnevirapine1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。三、基本假设1、一种疗法测试的病人每天服药的时间和药量都严格一致。2、同一年龄段病人（问题分析中体现年龄分段）对同一疗法的药物反应相同。3、病人在测试期内被体外HIV病毒感染的概率为0。4、患者体内除HIV病毒外，没有其他入侵CD4细胞的病毒。5、HIV病毒只入侵CD4细胞，而不再入侵其它细胞。6、药物进入体内后只与HIV病毒和CD4细胞相作用。7、疗法的费用在测试时间内保持不变。8、药物的供应量充足，即不会出现供不应求的情况。9、病人均积极配合治疗。10、假定题目要求研究的测试期为40周。7四、主要变量符号说明为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表1所示。其他一些变量将在文中陆续说明。表1主要变量符号说明一览表符号意义t时间1xt问题1中第t周测得的CD4含量。2xt问题1中第t周测得的HIV。p超调量，疗法的评价指标。()yt问题2、3中，第t周测得的CD4含量。T测试期总时长s疗法每日所需的费用k全国人均收入0k全国最低生活保证金平均水平8五、问题的分析题目的第一问要求我们利用附件1的数据预测该种疗法的治疗效果。从附件1中我们可以看出，三百多名病人的检测次数、时间、数据的完整程度都有很大差别，直接进行分析是不可能的。但是，可以认为开始接受测试的时间都是相同的，这样，我们决定将检测时间相同的数据进行汇总分析，从中寻找出疗法的规律。第二问要求对四种疗法进行比较评价。和第一问一样，每个病人的检测次数、时间等都有差异，所以还是要将检测时间相同的数据进行汇总分析。另外，不同年龄段的病人CD4的含量情况不同，所以必须分年龄段进行处理。而且，我们应该能够建立一个优化模型，找到一种疗效最好的疗法搭配方案。第三问实质上就是对于第二问的扩展。我们可以建立一个以疗效最好和药费最少为目标函数的双目标规划模型，从中得出最优的疗法方案。9六、问题1的模型建立与求解我们首先将附件一中的数据利用EXCEL进行处理，将数据汇总之后，将同一周进行测试的病人的CD4和HIV的含量指标取平均值（数据见附录1）。根据得出来的数据，以测试时间为横坐标，得出来的指标平均值为纵坐标，我们绘制出了图1：-100102030405002468测试时间测试指标CD4*0.02(乘以10个/ul)HIV(单位不详)图1其中，CD4的数值较HIV要大得多，因此，我们在绘图时，将原数据乘以0.02。根据图1，我们采用了三种方法来对药效进行预测：1、用战争模型解释变化过程。从图1中我们可以看出，CD4与HIV基本呈现出一种此消彼长的态势。就像两支部队，在人体这个战场上你争我夺，进行一场大战。因此，我们决定用战争模型[1]来解释这幅图。10我们将CD4和HIV看作处于敌对状态的两支大军，CD4数量的减少和HIV的增多，可以看成是当HIV得到了有力的增援后，对CD4进攻占据优势，消灭了很多CD4。反之，当CD4得到有力的增援后，将会成功地抵挡住HIV的进攻，同时对HIV兵力造成极大的消耗。我们将药物看作是在这场战争中大大增加CD4增援率与大大降低HIV增援率的一个因素。我们用1()xt与2()xt来表示交战双方t时刻的兵力。由于两军进行的是短兵相接的正面作战，我们认为，其中一方的战斗减员率只与敌方兵力有关，可以简单认为与对方军力成正比。用b表示HIV对CD4的杀伤率，于是，CD4的战斗减员率即为2bx。同理，HIV的战斗减员率为1cx。将CD4和HIV数量增多看作它们得到了增援。这个增援是由自身的复制等原因引起的，在战争模型中，与己方兵力有关，我们令CD4和HIV的增援率为1ax和2x。由此，我们得到了模型Ⅰ——战争模型：112212(1)(2)dxaxbxdtdxcxxdt由（1）得：112(3)dxaxdtxb将（3）式代入（2）式，得到：1111111[()/()][()/()]dxdaxbdxdtcxaxbdtdt整理可得微分方程：211121()()0dxdxaacxbdtbdtb可以得到：221,24()()2aaabcbbbrb又因为：22224()()4()aabcabcbbb可以得到2()0a由b0，c0可知bc0故224()()aabcb