立体几何(向量法)建系难

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立体几何(向量法)—建系难例1(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))如图,四棱锥PABCD中,PAABCD底面,2,4,3BCCDACACBACD,F为PC的中点,AFPB.(1)求PA的长;(2)求二面角BAFD的正弦值.【答案】解:(1)如图,联结BD交AC于O,因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又AC平分∠BCD,故AC⊥BD.以O为坐标原点,OB→,OC→,AP→的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,则OC=CDcosπ3=1,而AC=4,得AO=AC-OC=3.又OD=CDsinπ3=3,故A(0,-3,0),B(3,0,0),C(0,1,0),D(-3,0,0).因PA⊥底面ABCD,可设P(0,-3,z),由F为PC边中点,得F0,-1,z2,又AF→=0,2,z2,PB→=(3,3,-z),因AF⊥PB,故AF→·PB→=0,即6-z22=0,z=23(舍去-23),所以|PA→|=23.(2)由(1)知AD→=(-3,3,0),AB→=(3,3,0),AF→=(0,2,3).设平面FAD的法向量为1=(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为2=(x2,y2,z2).由1·AD→=0,1·AF→=0,得-3x1+3y1=0,2y1+3z1=0,因此可取1=(3,3,-2).由2·AB→=0,2·AF→=0,得3x2+3y2=0,2y2+3z2=0,故可取2=(3,-3,2).从而向量1,2的夹角的余弦值为cos〈1,2〉=n1·n2|n1|·|n2|=18.故二面角B-AF-D的正弦值为378.例2(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))如图,四棱锥PABCD中,902,ABCBADBCADPAB,与PAD都是等边三角形.(I)证明:;PBCD(II)求二面角APDC的大小.【答案】解:(1)取BC的中点E,联结DE,则四边形ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.联结OA,OB,OD,OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OE⊥BD,从而PB⊥OE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一:由(1)知CD⊥PB,CD⊥PO,PB∩PO=P,故CD⊥平面PBD.又PD⊂平面PBD,所以CD⊥PD.取PD的中点F,PC的中点G,连FG.则FG∥CD,FG⊥PD.联结AF,由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A-PD-C的平面角.联结AG,EG,则EG∥PB.又PB⊥AE,所以EG⊥AE.设AB=2,则AE=22,EG=12PB=1,故AG=AE2+EG2=3,在△AFG中,FG=12CD=2,AF=3,AG=3.所以cos∠AFG=FG2+AF2-AG22·FG·AF=-63.因此二面角A-PD-C的大小为π-arccos63.解法二:由(1)知,OE,OB,OP两两垂直.以O为坐标原点,OE→的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设|AB→|=2,则A(-2,0,0),D(0,-2,0),C(22,-2,0),P(0,0,2),PC→=(22,-2,-2),PD→=(0,-2,-2),AP→=(2,0,2),AD→=(2,-2,0).设平面PCD的法向量为1=(x,y,z),则1·PC→=(x,y,z)·(22,-2,-2)=0,1·PD→=(x,y,z)·(0,-2,-2)=0,可得2x-y-z=0,y+z=0.取y=-1,得x=0,z=1,故1=(0,-1,1).设平面PAD的法向量为2=(m,p,q),则2·AP→=(m,p,q)·(2,0,2)=0,2·AD→=(m,p,q)·(2,-2,0)=0,可得m+q=0,m-p=0.取m=1,得p=1,q=-1,故2=(1,1,-1).于是cos〈,2〉=n1·n2|n1||n2|=-63.由于〈,2〉等于二面角A-PD-C的平面角,所以二面角A-PD-C的大小为π-arccos63.例3(2012高考真题重庆理19)(本小题满分12分如图,在直三棱柱111CBAABC中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点(Ⅰ)求点C到平面11ABBA的距离;(Ⅱ)若11ABAC求二面角的平面角的余弦值.【答案】解:(1)由AC=BC,D为AB的中点,得CD⊥AB.又CD⊥AA1,故CD⊥面A1ABB1,所以点C到平面A1ABB1的距离为CD=BC2-BD2=5.(2)解法一:如图,取D1为A1B1的中点,连结DD1,则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥面A1ABB1,故CD⊥A1D,CD⊥DD1,所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角.因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影,又已知AB1⊥A1C,由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此AA1AD=A1B1AA1,即AA21=AD·A1B1=8,得AA1=22.从而A1D=AA21+AD2=23.所以,在Rt△A1DD1中,cos∠A1DD1=DD1A1D=AA1A1D=63.解法二:如图,过D作DD1∥AA1交A1B1于点D1,在直三棱柱中,易知DB,DC,DD1两两垂直.以D为原点,射线DB,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.设直三棱柱的高为h,则A(-2,0,0),A1(-2,0,h),B1(2,0,h),C(0,5,0),C1(0,5,h),从而AB1→=(4,0,h),A1C→=(2,5,-h).由AB1→⊥A1C→,有8-h2=0,h=22.故DA1→=(-2,0,22),CC1→=(0,0,22),DC→=(0,5,0).设平面A1CD的法向量为m=(x1,y1,z1),则m⊥DC→,m⊥DA1→,即5y1=0,-2x1+22z1=0,取z1=1,得m=(2,0,1),设平面C1CD的法向量为n=(x2,y2,z2),则n⊥DC→,n⊥CC1→,即5y2=0,22z2=0,取x2=1,得n=(1,0,0),所以cos〈m,n〉=m·n|m||n|=22+1·1=63.所以二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为63.例4(2012高考真题江西理20)(本题满分12分)如图1-5,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=5,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.图1-5【答案】解:(1)证明:连接AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,因为AA1∥BB1,所以OE⊥BB1.因为A1O⊥平面ABC,所以A1O⊥BC.因为AB=AC,OB=OC,所以AO⊥BC,所以BC⊥平面AA1O.所以BC⊥OE,所以OE⊥平面BB1C1C,又AO=AB2-BO2=1,AA1=5,得AE=AO2AA1=55.(2)如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2),由AE→=15AA1→得点E的坐标是45,0,25,由(1)得平面BB1C1C的法向量是OE→=45,0,25,设平面A1B1C的法向量=(x,y,z),由·AB→=0,n·A1C→=0得-x+2y=0,y+z=0,令y=1,得x=2,z=-1,即=(2,1,-1),所以cos〈OE→,〉=OE→·n|OE→|·|n|=3010.即平面BB1C1C与平面A1B1C的夹角的余弦值是3010.例5(2012高考真题安徽理18)(本小题满分12分)平面图形ABB1A1C1C如图1-4(1)所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=2,A1B1=A1C1=5.图1-4现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直,再分别连接A1A,A1B,A1C,得到如图1-4(2)所示的空间图形.对此空间图形解答下列问题.(1)证明:AA1⊥BC;(2)求AA1的长;(3)求二面角A-BC-A1的余弦值.【答案】解:(向量法):(1)证明:取BC,B1C1的中点分别为D和D1,连接A1D1,DD1,AD.由BB1C1C为矩形知,DD1⊥B1C1,因为平面BB1C1C⊥平面A1B1C1,所以DD1⊥平面A1B1C1,又由A1B1=A1C1知,A1D1⊥B1C1.故以D1为坐标原点,可建立如图所示的空间直角坐标系D1-xyz.由题设,可得A1D1=2,AD=1.由以上可知AD⊥平面BB1C1C,A1D1⊥平面BB1C1C,于是AD∥A1D1.所以A(0,-1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(-1,0,4),D(0,0,4).故AA1→=(0,3,-4),BC→=(-2,0,0),AA1→·BC→=0,因此AA1→⊥BC→,即AA1⊥BC.(2)因为AA1→=(0,3,-4),所以AA1→=5,即AA1=5.(3)连接A1D,由BC⊥AD,BC⊥AA1,可知BC⊥平面A1AD,BC⊥A1D,所以∠ADA1为二面角A-BC-A1的平面角.因为DA→=(0,-1,0),DA1→=(0,2,-4),所以cos〈DA→,DA1→〉=-21×22+-42=-55.即二面角A-BC-A1的余弦值为-55.(综合法)(1)证明:取BC,B1C1的中点分别为D和D1,连接A1D1,DD1,AD,A1D.由条件可知,BC⊥AD,B1C1⊥A1D1,由上可得AD⊥面BB1C1C,A1D1⊥面BB1C1C.因此AD∥A1D1,即AD,A1D1确定平面AD1A1D.又因为DD1∥BB1,BB1⊥BC,所以DD1⊥BC.又考虑到AD⊥BC,所以BC⊥平面AD1A1D,故BC⊥AA1.(2)延长A1D1到G点,使GD1=AD,连接AG.因为AD綊GD1,所以AG綊DD1綊BB1.由于BB1⊥平面A1B1C1,所以AG⊥A1G.由条件可知,A1G=A1D1+D1G=3,AG=4,所以AA1=5.(3)因为BC⊥平面AD1A1D,所以∠ADA1为二面角A-BC-A1的平面角.在Rt△A1DD1中,DD1=4,A1D1=2,解得sin∠D1DA1=55,cos∠ADA1=cosπ2+∠D1DA1=-55.即二面角A-BC-A1的余弦值为-55.您好,欢迎您阅读我的文章,本WORD文档可编辑修改,也可以直接打印。阅读过后,希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯,坚持下去,让我们共同进步。

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