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自测题自测题一1．已知a2+4a+1=0，并且求m的值．2．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，求a的取值范围．3．已知方程组的两组解是(x1，y2)与(x2，y2)，求x1y2+x2y1的值．4．设a+b+c=a2+b2+c2=2，证明：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2．5．在△ABC中，AC=24，BC=10，AB=26，则它的内切圆半径等于多少？6．如图3-169．AD是⊙O的切线，D是切点，ABC是⊙O的割线，交⊙O于B，C，DE⊥AO于E，求证：∠AEB=∠ACO．7．过△ABC内部任一点P分别作BC，CA，AB边的平行线，设它们与另外两边的交点分别是D，E，8，如图3-170．AB是半圆的直径，CD是半圆的切线，切点为D，AC⊥CD于C，交半圆于F，DE⊥AB于E．求证：DE2=AC·FC．9．城市A位于一条铁路线上而附近的一个小镇B需要从A市购进大量生活、生产用品．如果铁路运费是公路运费的一半，试问该如何从B修筑一条公路到铁路边，使从A到B的运费最低？自测题二1．已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，求2a+c的值．2．84能否表示成若干个连续正整数的和的形式？如果不能，请给出证明．如果能，则给出所有的表示方法．3．(1)有△ABC，过边BC上一点P作PQ∥AB交AC于Q，作QR∥BC交AB于R，作RS∥AC交BC于S，作ST∥AB交AC于T，作TU∥BC交AB于U，如果过U作AC的平行线是否过P(图3-171)？(2)如果通过P，设△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，试用a，b，c表示折线PQRSTUP的长度．4．圆O内有AB，l1，l2分别是以A，B为切点的⊙O的切M．求证：PS2=PN·PM(图3-172)．5．证明不存在两个这样的既约分数，它们的和与积均为整数．6．若正整数p，q，r使得二次方程px2-qx+r=0的两个根α，β满足O＜α＜β＜1，求p的最小值．7．已知半径为r的圆上有一个定点P，过P作圆的切线l，过圆上一动点R引RQ⊥l于Q，求△PQR面积的最大值．8．在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：b+c≤2R(其中R为△ABC外接圆半径)．9．在12小时内，时针与分针有多少个时刻在一条直线上？自测题三1．已知实数a，b，c满足a2-a-bc+1=0，①2a2-2bc-b-c+2=0，②求证：a≥1．2．若a＞0，且b＞a＋c，求证：方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．3．一元二次方程x2+px=19=0的两个根恰好比方程x2-Ax+B=0的两个根分别大1，其中A，B，p都是整数，求A+B的值．4．已知实数x0，y0是方程组的解，求x0+y0的值．5．如图3-173．AD是△ABC的角平分线，∠ADC=α，AD2=BD·DC．求证：cosA=cos2α．6．设α为锐角，且α≠45°，若试写出tgα，ctgα为两根的一元二次方程．7．在△ABC中，∠A是直角，AD⊥BC于D，AT是∠A的平分线，Ol，O2分别是△ABD和△ACD的内心．求证：AT⊥O1O2(图3-174)．8．已知⊙O为定圆，△ABC内接于圆，且AB=AC，AD为底边BC上的高．试问BC为何值时，AD+BC的值最大(图3-175)？9．从不同地区的甲、乙和丙三个工厂分别运出某种设备12套、10套和12套，给A市20套，B市14套．已知从甲厂调运一套设备到A市、B市的运费分别为200元和600元；从乙厂调运一套设备到A市、B市的运费分别为300元和700元；从丙厂调运一套设备到A市、B市的运费都是400元．试问从甲、乙、丙各工厂向A市、B市分别调运多少套设备时，使总运费最省？自测题四0的两根都是有理数．2．已知方程│x4-a-1=0有4个实根，求实数a的取值范围．叠，使A点与C点重合，折痕为PG，P在AB边上，G在CD边上，求PG的长．4．使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少？5．过⊙O的O点引割线PQ，使PO=OQ，过P引⊙O的割线交⊙O于C，D，过Q引⊙O的切线，切点为B，连BC交PQ于E，连BD交PQ于F．求证：OE=OF(图3-176)．7．直角△ABC中，AC+BC=144厘米，CD⊥AB，CD=4.8厘米(3-177)．求△ABC内切圆半径和外接圆半径．8．如图3-178，I是△ABC的内心，IA=l，IB=m，IC=n，求证：al2+bm2+cn2=abc．9．有一批长为60厘米的铝合金材料，现要截成24厘米和7厘米的两种规格的短材备用．那么，(1)怎样截材可使原材料的利用率最高？并求利用率是多少？(2)若要截成24厘米和17厘米的材料各40根备用，试问怎样截法可使原材料利用率最高？自测题五2．解方程组4．如图3-179．一个圆交等边三角形ABC于D，E，F，G，H，I六点．如果AG=2，GF=13，FC=1，HI=7，那么DE的长等于多少？5．设△ABC的∠A的平分线交BC于D，l是过A的△ABC外接圆的切线，CE∥AD交l于E．求证：DE∥AB(图3-180)．6．证明：如果整系数二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．7．正三角形ABC的内切圆I与BC，CA，AB分别切于D，E，8．实数a为何值时，方程组的解适合xy＜0？9．图3-181是一张折叠的钢丝床简图．这是展开后放在地面的情景，如果折起来，床头部分便折到了床下面，由于A，B，C，D各点是活动的，当折叠时，△ACD(B在AC上)就变化为四边形ABCD(图3-182)，进而B，A，C，D在一条直线上．如果在四边形ABCD中，AB=a，CD=b，那么BC，AD各为多少时，这张叠折床就设计成功了？自测题解答自测题一又由题设知所以m=19．2．因为ax≥-3的正整数解只有1，2，3，所以a＜0，x≤3．消去y，得2x2-5x+1-0，所以所以4．由题设有构造辅助函数f(x)=x(1-x)2，只需证fA．=fB．=fC．．因为(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a＋b＋c)x2＋(ab+bc＋ca)x-abc=x3-2x2＋x-abc=f(x)-abc，所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)＋abc．令x=a，b，c，得fA．=fB．=fC．，从而a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2=abc．5．由AC=24，BC=10，AB=26，可得AC2+BC2=AB2，所以∠C=90°，即△ABC为直角三角形．＼设I为△ABC内心，过I向△ABC三边作垂线，垂足分别为D，E，F(如图3－228)．由切线长定理可得因为∠IDC=∠C=∠IEC=90°，且ID=IE，所以四边形IDCE为正方形，所以内切圆半径=IE=CE=4．6．如图3－229．连结OD，因为AD切⊙O于D，所以OD⊥AD．又因为DE⊥AO，所以△ADE∽△AOD，所以又因为AD2=AB·AC，所以所以△ABE∽△AOC，所以∠AEB=∠ACO．7．如图3－230．由于DE∥BC，HI∥AB，FG∥AC，所以四边形DBHP和PFCE为平行四边形，所以DP=BH，PE=FC．又而所以90°．又因为DE⊥AB，所以DE2=AE·EB．①又由于CD是切线，所以∠CDA=∠ABD，而∠DBA=∠ADE，所以∠CDA=∠ADE，所以△ADC≌△AED，所以AE=AC，②CD=DE．又因为∠CFD=∠DBE，所以△CFD≌△EDB，所以FC=EB．③由①，②，③得DE2=AC·FC．9．设铁路与公路的交接点为C，AC=x，BC=y．BD⊥AD于D，BD=m，AD=n(图3－232)，则依题意求x＋2y的最小值，用S表示．所以即3y2-4(S-n)y+(S-n)2+m2=0，要求S的最小值，只要求S-n的最小值．因为y有实数解，所以所以可见，不管AD多长，从B点修筑的公路应与铁路线成60°角．注意如果保持∠BCD=60°，但C点不在AD之间时，所得之解显然不适用．这时，直接由B到A筑一条公路而不用铁路会更省．自测题二1．由题设可得解得a＋b+c=1，a-b=1．把这两个式子相加得2a+c=2．或由已知二式相加得4(a＋b+c)=4，从而a＋b+c=1．代入已知条件3a＋b+2c=3中，即得2a＋c=2．2．设84=m＋(m+1)+…+(m+k)(m，k为正整数)，则即(k＋1)(k+2m)=168．k+1和k＋2m是奇偶性不同、大小不等的两个正整数，且k＋1＜k＋2m．由于168＝3×56＝7×24＝8×21，所以我们得出以下三个方程组：解得于是有84=27＋28＋29，84=9+10+11+12＋13+14+15，84=7+8+9+10+11+12+13＋14．综上所述，84能够表示成若干个连续正整数的和，表示方法共三种，如上所示．3．(1)如图3－233．连UP，在△ARQ与△BUP中，因为∠ARQ=∠UBP，又因为AR=TS=BU，RQ=BP，所以△ARQ≌△UBP，所以∠BUP=∠RAQ，UP∥AC．所以过U引AC的平行线必过P点．(2)由于UT=PC，PQ=AU，RS=QC，RQ=BP，ST=BU，PU=AQ，所以折线PQRSTUP=a＋b＋c．4．连PA，PB(图3－234)，在△APN与△BPS中，∠PNA＝∠PSB＝90°，∠NAP=∠PBS，所以△PNA∽△PBS，所以PS2=PN·PM．整数，矛盾．因此，不存在两个既约分数，它们的和与它们的乘积均为整数．6．设α，β是二次方程px2-qx＋r=0的两个根，α≠β，0＜α＜1，0＜β＜1，我们有所以p2＞16r(p-q+r)．①又因为f(x)=px2-qx+r的二次项系数p＞0，且它的两个根在(0，1)内，故f(1)=p-q＋r＞0，r(p-q＋r)＞0．由于p，q，r均为正整数，故r(p-q+r)≥1．从①式便得p2＞16r(p-q＋r)≥16，所以p＞4，即p≥5．又当p=5时，二次方程5x2-5x＋1=0的两根7．如图3－235．作RS∥PQ交⊙O于S，连结PO并延长PO交RS于M．因为l切⊙O于P，所以PO⊥l．又因为RS∥l，所以PO⊥RS于M，所以M为RS中点．因为RQ⊥l于Q，所以∠RQP=∠QPM=∠PMR=90°，所以四边形RQPM为矩形，所以由于△PRS为圆内接三角形，所以当它为等边三角形时面积最大．△PRS8．由余弦定理得所以即所以b+C≤2R．9．设时针与分针同时从12点转动．如果时针走了x刻度，则时针与分针成一条直线时，分针距刻度“12”应是x+30个刻度，那么，时时针与分针共有11次成直线的机会．当时针与分针成180°时，时针从直线的11个时刻大致是：12点32.73分；1点38.18分；2点43.64分；3点49.09分；4点54.55分；6点整；7点5.45分；8点10.91分；9点16.36分；10点21.82分；11点27.27分．自测题三1．由①，②得bc=a2-a＋1，b＋c=2a．构造实系数二次方程x2-2ax+a2-a+1＝0，那么它的两个实根为x=b，x=c，于是此二次方程的判别式△≥0，即4a2-4(a2-a+1)≥0，由此得a≥1．2．当c≥0时，由a＞0知a＋c＞0，所以b＞a＋c＞0，所以△=b2-4ac＞(a＋c)2-4ac=a2-2ac＋c2=(a-c)2≥0．当c＜0时，△=b2-4ac≥-4ac＞0，所以方程ax2+bx＋c=0有两个不相等的实根．3．设方程x2-Ax＋B=0的两个根分别为α，β，则α＋β=A，αβ=B．又依题意，方程x2＋px＋19=0的两个根为α+1，β+1，且(α＋1)(β＋1)=19，所以αβ+(α＋β)+1=19，即A＋B=18．5．如图3－236．作△ABC的外接圆O，延长AD交⊙O于E，则E是BC的中点．连结OE交BC于F，则OE⊥BC于F．因为AD·DE=BD·DC，AD2=BD·DC，所以AD=DE．连结OD，则OD⊥AE，所以∠DOE＝∠EDF＝a．连结OB，则∠BOE=∠BAC．因为OF=OB·cos∠BOE=R·c