61两直线的位置关系

考纲要求1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．会求两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离．1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,①其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔________.②当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2______．(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔_____________,②当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线_______．平行12kk垂直121kk知识梳理3．三种距离公式(1)两点间的距离:点P(x1，y1)、P(x2，y2)间的距离：|P1P2|＝.特别地：P1P2∥x轴时，则|P1P2|＝；P1P2∥y轴时，则|P1P2|＝.(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.(3)两条平行线间的距离两平行直线l1:Ax＋By＋C1＝0与l2:Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝.222121()()xxyy0022||AxByCAB1222||CCAB21xx21yy1．与直线032yx相交的直线的方程是（）A．0624yxB．xy2C．52xyD．32xy基础自测【答案】D2．过点(1,0)且与直线220xy平行的直线方程是（）A．210xyB．210xyC．220xyD．210xy【答案】A3．如果直线013yax与直线0322yx互相垂直，那么a的值等于（）A．3B．31C．3D．31【答案】C4．（2012浙江高考）设aR，则“1a”是“直线1l：20axy与直线2l：(1)40xay平行的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当121aa，解得1a或2a，故选A．【例1】已知两直线1l：220xmym，2l：10mxym．（1）若1l∥2l，求m的值；（2）若1l2l，求m的值．典例剖析考点1两直线的位置关系【解析】（1）当0m时，显然不满足1l∥2l，当0m时，11km，2km,∴1mm，解得1m或1m，∵当1m时，直线1l和直线2l重合，∴m的值是1．（2）∵1l2l，∴0mm，解得0m．【变式】（2012汕头二模）设“1a”是“直线260axy与直线4(3)90xay互相垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】两直线相互垂直的充要条件是：24(3)0aa，即1a或34a．【例2】求过两直线240xy与20xy的交点，且与直线3450xy垂直的直线方程．考点2两直线的交点问题【解析】方法1：设所求的直线方程为430xyc，由02042yxyx，得交点(0,2)，∴40320c，得6c，∴所求的直线为0634yx．方法2：设所求的直线为0)2(42yxyx∴(1)(2)420xy∵所求的直线与直线3450xy垂直，∴3(1)4(2)0，得11，∴所求的直线方程为0634yx．【变式】已知线段PQ两端点的坐标分别为(1,1)、(2,2)，若直线l：0xmym与线段PQ有交点，求m的范围．【解析】方法1：直线0xmym恒过点(0,1)A，11201APk，123022AQk，则132m或12m，∴2132m且0m.又0m时，直线0xmym与线段PQ有交点，∴所求m的范围是21[,]32．方法2：过P、Q两点的直线方程为211(1)21yx，即1433yx，由01433xmymyx，解得73mxm，由已知7123mm，解得2132m.即m的范围是21[,]32．【例3】已知直线l过点(3,4)P且与点(2,2),(4,2)AB等距离，求直线l的方程．考点3距离公式的应用【解析】当直线l和AB所在的直线平行时，直线l方程为4(3)ABykx，即24(3)3yx，即23180xy．当直线l过AB的中点(1,0)时，∴直线l方程为40(1)31yx，即220xy．∴直线l的方程为23180xy或220xy．【变式】已知直线01)1(:ayxal及定点)4,3(A，问a为何值时：（1）直线l过点)4,3(A？（2）点A到直线l的距离最大？并求最大距离．【解析】（1）把点)4,3(A的坐标代入直线l的方程，得3(1)410aa，即21a．∴当21a时，直线l过点)4,3(A．（2）直线l的方程可化为(1)10axxy∴故直线l过定点)2,1(B，∵点A到直线l的距离中，当lAB时，||AB为最大．而23ABk，由1)1(23a，得35a，这时22||(31)(42)213AB．∴当35a时，点P到直线l的距离最大，最大值为213．1.处理斜率不定的动直线，都先考虑是否过定点．2.处理两条直线垂直时，要注意两种情况：⑴两直线的斜率都存在，⑵一条直线的斜率为0，而另一条直线的斜率不存在．3.几种常用的直线系方程：⑴和直线0AxByC平行的直线系方程为：0()AxBymmC．⑵和直线0AxByC垂直的直线系方程为：0BxAyn(nR)．⑶过定点00(,)Mxy的直线系方程为：00()yykxx或0xx⑷过0:1111CyBxAl与0:2222CyBxAl的交点直线系方程为：111AxByC222()0AxByC（不包括2l）归纳反思