破解难点优质课(三)-最值、范围、证明问题

RJA破解难点优质课（三）最值、范围、证明问题课堂考点探究1.几何转化代数法:将常见的几何问题所涉及的结论转化为代数问题求解.常见的几何问题所涉及的结论:(1)两圆相切时半径的关系;(2)三角形三边的关系;(3)动点与定点构成线段的和或差的最值,经常在两点共线时取到,注意同侧与异侧;(4)几何法转化所求目标,常见的有勾股定理、对称、圆锥曲线的定义等.破解难点一最值问题课堂考点探究案例方法与思维[2013·全国卷Ⅰ]已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.……(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.【关键1:利用椭圆定义及圆与圆的位置关系确定圆的方程】若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=23.【关键2:分类讨论,计算斜率不存在时的弦长】课堂考点探究案例方法与思维[2013·全国卷Ⅰ]已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则|QP||QM|=Rr1,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得|3k|1+k2=1,解得k=±24.【关键3:斜率存在时,利用直线与圆相切求直线斜率】课堂考点探究案例方法与思维[2013·全国卷Ⅰ]已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.当k=24时,将y=24x+2代入x24+y23=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-4±627,所以|AB|=1+k2|x2-x1|=187.【关键4:联立直线方程与椭圆方程求弦长】当k=-24时,由图形的对称性得|AB|=187.综上,|AB|=23或|AB|=187.课堂考点探究2.函数最值法:当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值.求函数最值的常用方法有(1)配方法;(2)基本不等式法;(3)判别式法;(4)单调性法;(5)三角换元法;(6)导数法等.课堂考点探究案例方法与思维【基本不等式法】[2014·全国卷Ⅰ]已知点A(0,-2),椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.……(2)当l⊥x轴时不合题意,【关键1:研究直线l与x轴垂直的情况】故可设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入x24+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0,当Δ=16(4k2-3)0,即k234时,x1,2=8k±24k2-34k2+1,【关键2:设出直线方程,并与椭圆方程联立,利用根与系数的关系找出A,B两点横坐标与参数k的关系式】课堂考点探究案例方法与思维【基本不等式法】[2014·全国卷Ⅰ]已知点A(0,-2),椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.从而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1·4k2-34k2+1.又点O到直线l的距离d=2k2+1.所以△OPQ的面积S△OPQ=12d·|PQ|=44k2-34k2+1.【关键3:用参数k表示面积】设4k2-3=t,则t0,S△OPQ=4tt2+4=4t+4t,因为t+4t≥4,当且仅当t=2,即k=±72时等号成立,满足Δ0.【关键4:换元,利用基本不等式求最值】所以,当△OPQ的面积最大时,k=±72,l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.课堂考点探究案例方法与思维【二次函数法】[2013·全国卷Ⅱ]平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)右焦点的直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.……(2)由x+y-3=0,x26+y23=1,解得x=433,y=-33或x=0,y=3.因此|AB|=463.【关键1:直线方程与椭圆方程联立求|AB|】由题意可设直线CD的方程为y=x+n-533n3,设C(x3,y3),D(x4,y4).由y=x+n,x26+y23=1得3x2+4nx+2n2-6=0,于是x3,4=-2n±2(9-n2)3.课堂考点探究案例方法与思维【二次函数法】[2013·全国卷Ⅱ]平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)右焦点的直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=2|x4-x3|=439-n2.【关键2:设出直线CD的方程,并与椭圆方程联立求|CD|】由已知,四边形ACBD的面积S=12|CD|·|AB|=8699-n2.【关键3:用参数n表示面积】当n=0时,S取得最大值,最大值为863.所以四边形ACBD面积的最大值为863.课堂考点探究例1[2018·济南二模]如图Y3-1,已知离心率为22的椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)经过点A(-2,0),斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于点E,点P为线段AB的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)若点E关于x轴的对称点为H,过点E且与OP垂直的直线交直线AH于点M,求△MAP面积的最大值.图Y3-1[思路点拨](1)根据题意,利用离心率与椭圆过已知点建立关于a,b,c的方程组,解之即可得椭圆C的方程;(2)首先设出直线l的方程,并与椭圆方程联立得到关于x的二次方程,然后利用根与系数的关系结合中点坐标公式、点到直线的距离公式,用k表示出𝐴𝐵及点M到直线l的距离,由此建立△MAP的面积关于k的函数,最后利用基本不等式求最值.解:(1)由已知得𝑎2=𝑏2+𝑐2,𝑒=𝑐𝑎=22,4𝑎2+0𝑏2=1,解得𝑎=2,𝑏=2,所以椭圆C的方程为𝑥24+𝑦22=1.(2)椭圆C的左顶点为A(-2,0),直线l的方程为y=k(x+2),则E(0,2k),H(0,-2k).由𝑥24+𝑦22=1,𝑦=𝑘(𝑥+2),得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-4=0,则Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-4)=16,设B(x2,y2),P(x0,y0),不妨记A(x1,y1),则x1+x2=-8𝑘22𝑘2+1,x1x2=8𝑘2-42𝑘2+1,课堂考点探究例1[2018·济南二模]如图Y3-1,已知离心率为22的椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)经过点A(-2,0),斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于点E,点P为线段AB的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)若点E关于x轴的对称点为H,过点E且与OP垂直的直线交直线AH于点M,求△MAP面积的最大值.图Y3-1课堂考点探究例1[2018·济南二模]如图Y3-1,已知离心率为22的椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)经过点A(-2,0),斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于点E,点P为线段AB的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)若点E关于x轴的对称点为H,过点E且与OP垂直的直线交直线AH于点M,求△MAP面积的最大值.图Y3-1则x0=12(x1+x2)=-4𝑘22𝑘2+1,y0=k(x0+2)=k-4𝑘22𝑘2+1+2=2𝑘2𝑘2+1,所以kOP=𝑦0𝑥0=-2𝑘4𝑘2=-12𝑘,所以直线EM的斜率kEM=-1𝑘𝑂𝑃=2k,所以直线EM的方程为y=2kx+2k,即y=2k(x+1).直线AH的方程为y=-k(x+2),所以点M-43,-23𝑘.点M-43,-23𝑘到直线l:kx-y+2k=0的距离d=-43𝑘+23𝑘+2𝑘𝑘2+1=43𝑘𝑘2+1.课堂考点探究例1[2018·济南二模]如图Y3-1,已知离心率为22的椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)经过点A(-2,0),斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于点E,点P为线段AB的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)若点E关于x轴的对称点为H,过点E且与OP垂直的直线交直线AH于点M,求△MAP面积的最大值.图Y3-1因为|AB|=1+𝑘2|x1-x2|=1+𝑘2(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=41+𝑘22𝑘2+1,P为线段AB的中点,所以|AP|=12|AB|=21+𝑘22𝑘2+1,所以△MAP的面积S=12|AP|d=12·21+𝑘22𝑘2+1·43𝑘𝑘2+1=43|𝑘|2𝑘2+1,所以S=432|𝑘|+1|𝑘|≤4322=23,当且仅当|k|=22时取等号,所以△MAP面积的最大值为23.课堂考点探究[总结反思]圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.解:(1)易知O(0,0),由方程组𝑦=𝑥,𝑥2=2𝑝𝑦得x2-2px=0,所以xT=2p,所以T(2p,2p),则|OT|=22p.又|OT|=42,所以p=2,故C的方程为x2=4y.(2)由(1)得O(0,0),T(4,4),则线段OT的中点坐标为(2,2),故直线l的方程为y-2=k(x-2).由方程组𝑦=𝑘𝑥+2-2𝑘,𝑥2=4𝑦得x2-4kx+8k-8=0,课堂考点探究变式题在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=2py(p0),直线y=x与C交于O,T两点,|OT|=42.(1)求C的方程;(2)斜率为k0𝑘≤12的直线l过线段OT的中点,与C交于A,B两点,直线OA,OB分别交直线y=x-2于M,N两点,求|MN|的最大值.设A𝑥1,𝑥124,B𝑥2,𝑥224,则x1+x2=4k,x1x2=8k-8.直线OA的方程为y=𝑥14x,代入y=x-2,解得x=84-𝑥1,所以M84-𝑥1,2𝑥14-𝑥1.同理得N84-𝑥2,2𝑥24-𝑥2,所以|MN|=284-𝑥1-84-𝑥2=28(𝑥1-𝑥2)(4-𝑥1)(4-𝑥2)=28(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥216-4(𝑥1+𝑥2)+𝑥1𝑥2=2816𝑘2-32(𝑘-1)16-16𝑘+8(𝑘-1)=421+1(1-𝑘)2.因为0k≤12,所以8|MN|≤410,所以|MN|的最大值为410.课堂考点探究变式题在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=2py(p0),直线y=x与C交于O,T两点,|OT|=42.(1)求C的方程