高一数学：第三章-概率-章末总结-课件(人教A版必修3)

第三章概率第三章章末总结知识结构[答案]①必然事件②不可能事件③A发生，则B一定发生，记作A⊆B④A∩B＝Ø⑤A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件⑥0≤PA≤1⑦PA＝1⑧PA＝0⑨若A，B互斥，则PA∪B＝PA＋PB⑩任何两个基本事件是互斥的⑪任何事件除不可能事件都可以表示成基本事件的和⑫有限性⑬等可能性⑭PA＝专题突破专题1频率与概率随机事件的概率是指在相同的条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率mn会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)．它反映的是这个事件发生的可能性的大小．一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说)，又有规律性(对大量重复试验来说)．规律性体现在mn的值具有稳定性，当随机试验的次数不断增加时，mn的值总在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动的幅度往往越来越小．由于0≤m≤n，故0≤mn≤1，于是可得0≤P(A)≤1.[例1]某射击运动员为2012年伦敦奥运会做准备，在相同条件下讲行射击训练，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？[分析]弄清频率与概率的含义及它们之间的关系是解题的关键.[解析](1)由题意，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．(4)不一定.规律总结：概率是一个理论值，频率是概率的近似值，当做大量的重复试验时，试验次数越多，频率的值越接近概率值．专题2互斥事件与对立事件互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用．应用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A－)求解．[例2]甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？[分析]用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．[解析]把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x2，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p1，p1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙轴到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.规律总结：本题利用分类讨论思想，把甲、乙抽题情况先分为四类，即“甲抽到选择题，乙抽到判断题”“甲抽到判断题，乙抽到选择题”“甲、乙都抽到选择题”和“甲、乙都抽到判断题”这四个互斥事件，而在每个互斥事件中，又按抽某个具体题目分类，从而写出了所有可能的基本事件．第(2)问利用对立事件求解更为方便．专题3古典概型古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础．在高考题中；经常出现此种概率模型的题目．解题时要抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝mn时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，求出n，m.在求较为复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再利用公式P(A)＝1－P(A－)就可以求出所求事件的概率．[例3]有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A，B，C，D表示)；(2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．[分析]本题旨在考查对古典概型的理解及运用．[解析](1)树状图如图所示．列表如下：ABCDA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)(2)摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌有4种情况，即(B，B)，(B，C)，(C，B)，(C，C)，故所求概率是416＝14.[例4]随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如右图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高：(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．[分析]由茎叶图中数据的分布情况判断哪个班的平均身高较高；写出基本事件，利用古典概型的概率公式求概率．[解析](1)由茎叶图可知：甲班的平均身高为110×(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋173＋179＋182)＝169.4.乙班的平均身高为110×(159＋162＋165＋168＋170＋173＋176＋178＋179＋181)＝171.1，故乙班的平均身高高于甲班．(2)设身高为176cm的同学被抽中为事件A.从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件．而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，所以P(A)＝410＝25.专题4几何概型问题若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)＝mn求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．几何概型是新增内容，在高考中很少考查随机模拟，主要涉及几何概型的概率求解问题，难度不会太大，题型可能较灵活，涉及面可能较广．几何概型的三种类型分别为长度型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型解题．当一随机试验的可能结果有无数个，并且每个结果的出现都是等可能的，我们把这样的试验称为几何概型．由于试验的结果不能一一列举出来，所以在计算概率时可利用试验的全部结果构成的区域和所求事件的结果构成的区域的几何度量的比值来计算．常用的几何度量有长度，面积，体积和角度等，解题时要适当选择．[例5]在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，求△PBC的面积大于S3的概率．[解析]如图所示，作AD⊥BC于D，PE⊥BC于E.对于事件M＝“△PBC的面积大于S3”，有12·BC·PE13·12·BC·AD，即PE13AD，所以BP13AB.由几何概型的概率计算公式，得P(M)＝23ABAB＝23.专题5概率与统计的综合问题概率与统计相结合，是新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，属于中档以下难度．[例6](2011～2012·广东佛山高三教学质量检测)某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．[解析](1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为0.35＝0.06.频率直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝2000.2＝1000.由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，所以p＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为＝，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．设[40,45)岁中的4人为a，b，c，d，[45,50)岁中的2人为m，n，则选取2人作为领队的有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815.专题6思路方法总结思想1转化与化归思想转化与化归思想，简单地说就是将复杂的问题转化成简单的问题，将未解决的问题转化成已解决的问题．本章中，有两个主要应用这种思想的解题方法：一是将所求事件的概率转化成所求事件的对立事件的概率；二是在几何概型中，将求概率的问题转化成求长度(面积或体积)比值的问题．[例7](2011～2012·江西模拟)从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为()A.29B.13C.49D.59[答案]A[解析]直线y＝kx＋b不经过第三象限，即k0，b0，总的基本事件个数是3×3＝9；k0，b0包含的基本事件有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概率是P＝29.[例8]在[－1,1]上任取两个实数a，b，求一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有两个非负实数根的概率．[分析]方程有两个实数根⇔Δ≥0⇔|a|≥|b|.因为方程两根皆非负，所以x1＋x2＝－2a≥0，即a≤0.又a∈[－1,1]，所以－1≤a≤0.阴影