两直线的位置关系

第1页高考一轮总复习第二节两条直线的位置关系第2页高考一轮总复习对应学生书P95两条直线的位置关系方程形式条件位置关系斜截式y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2一般式A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0第3页高考一轮总复习方程形式条件位置关系斜截式y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2一般式A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行k1＝k2，且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，B2C1－B1C2≠0，或A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0重合k1＝k2，且b1＝b2A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－第4页高考一轮总复习两条直线的夹角(1)l1到l2的角：①定义：直线l1与l2相交，l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，记为θ1.②计算公式：tanθ1＝k2－k11＋k1k2(1＋k1k2≠0)．(2)l1与l2的夹角：①定义：将l1到l2的角与l2到l1的角中不超过90°的角，叫做l1与l2的夹角，记为θ2.②计算公式：tanθ2＝|k2－k11＋k1k2|(1＋k1k2≠0)．第5页高考一轮总复习(3)“l1到l2的角”与“l1与l2的夹角”的区别与联系：概念区别与联系l1到l2的角l1与l2的夹角定义不同“l1到l2的角”是把l1绕着与l2的交点逆时针方向旋转到与l2重合时的角，它具有方向性“l1与l2的夹角”是指l1与l2所成的角中的锐角或直角，它不具有方向性范围不同(0，π)(0，]联系当l1到l2的角为锐角或直角时，它们相等π2第6页高考一轮总复习点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式(1)已知点P0(x0，y0)，那么点P0到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(2)两平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2.第7页高考一轮总复习对称问题(1)点关于点的对称：点P(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点P′的坐标为(2a－x0,2b－y0)，特别地，点P(x0，y0)关于原点O(0,0)的对称点的坐标为P′(－x0，－y0)．(2)点关于直线的对称：求点P(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点Q(x′，y′)时，关键是抓住两点：一是PQ⊥l；二是P、Q的中点在l上，即解方程组y′－y0x′－x0－AB＝－1，Ax0＋x′2＋By0＋y′2＋C＝0(其中B≠0，x′≠x0)，求得x′，y′.第8页高考一轮总复习有关直线系问题(1)与Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(A2＋B2≠0且C1≠C)．(2)与Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0.(3)过两直线A1x＋B1y＋C1＝0(A12＋B12≠0)与A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0.第9页高考一轮总复习对应学生书P951．“m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件第10页高考一轮总复习答案：B解析：两直线垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2，或m＝12.所以m＝12是两直线垂直的充分不必要条件．第11页高考一轮总复习答案：A2．直线y＝2与直线x＋y－2＝0的夹角是()A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：本题考查特殊情况(即一直线斜率为0)下两直线的夹角问题．如图所示，可知，两直线夹角为π4.第12页高考一轮总复习3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0答案：D解析：由x－2y＋1＝0，x＝1，得交点A(1,1)，且可知所求直线斜率为－12，排除B、C.又所求直线过点A(1,1)，排除A.第13页高考一轮总复习4．经过点(－1,3)且与直线x－2y＋3＝0垂直的直线方程为()A．2x＋y－1＝0B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝0解析：与直线x－2y＋3＝0垂直的直线斜率为－2，又直线过点(－1,3)，由点斜式可知所求直线方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.答案：A第14页高考一轮总复习5．点P为x轴上一点，P点到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则P点坐标为__________．答案：(－12,0)或(8,0)解析：设P(a,0)，则有|3a－4×0＋6|32＋－2＝6，解得a＝－12，或a＝8.∴P点坐标为(－12,0)或(8,0)．第15页高考一轮总复习对应学生书P95易错点一记错公式导致解题失误【自我诊断①】已知两直线l1：ax－6y＋12＝0和l2：x－2y＋b＝0相交于点P(1，m)，并且l1到l2的角为135°，则a＝__________，b＝__________，m＝__________.第16页高考一轮总复习答案：1895解析：l1，l2的斜率分别为a6，12.根据题意，得12－a61＋12×a6＝tan135°，解得a＝18.又∵点P(1，m)在l1上，∴18－6m＋12＝0，解得m＝5.∵点P(1，m)在l2上，∴1－2×5＋b＝0，解得b＝9.∴a＝18，b＝9，m＝5.第17页高考一轮总复习易错点二考虑问题不全面导致产生误解【自我诊断②】若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝__________.解析：l1∥l2，则须满足－2m＝3，－1m≠－1，得m＝－23，m≠1.所以m的值是－23.答案：－23第18页高考一轮总复习对应学生书P96题型一两条直线平行与垂直关系的应用【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a、b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．第19页高考一轮总复习解析：(1)由已知可得l2的斜率必存在，∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0.即4＝3a(与a＝1矛盾)．∴此种情况不存在，即k2≠0.第20页高考一轮总复习若k2≠0，即k1、k2都存在，∵k1＝ab，k2＝1－a，l1⊥l2，∴k1·k2＝－1.即ab(1－a)＝－1.①又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①、②联立，解得a＝2，b＝2.第21页高考一轮总复习(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，∴k1＝k2.即ab＝1－a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数．即4b＝b.④由③、④联立，解得a＝2，b＝－2，或a＝23，b＝2.∴a、b的值为2、－2或23、2.第22页高考一轮总复习规律方法：当所求直线的方程中存在字母系数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于(1)若用l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0可不用分类讨论．第23页高考一轮总复习【预测1】已知两直线l1：x＋ysinθ－1＝0和l2：2xsinθ＋y＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.解析：(1)方法一：当sinθ＝0时，l1的斜率不存在，l2的斜率为零，l1显然不平行于l2.当sinθ≠0时，k1＝－1sinθ，k2＝－2sinθ，欲使l1∥l2，只要－1sinθ＝－2sinθ，sinθ＝±22.∴θ＝kπ±π4(k∈Z)，此时两直线截距不相等．∴当θ＝kπ±π4(k∈Z)时，l1∥l2.第24页高考一轮总复习方法二：由A1B2－A2B1＝0，即2sin2θ－1＝0，得sin2θ＝12，∴sinθ＝±22.由B1C2－B2C1≠0，即1＋sinθ≠0，即sinθ≠－1，得θ＝kπ±π4(k∈Z)．∴当θ＝kπ±π4(k∈Z)时，l1∥l2.第25页高考一轮总复习(2)∵A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，∴2sinθ＋sinθ＝0.即sinθ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)．∴当θ＝kπ(k∈Z)时，l1⊥l2.第26页高考一轮总复习题型二直线系方程的应用【例2】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．解析：方法一：先解方程组3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，得l1、l2的交点(－1,2)，再由l3的斜率35求出l的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－53(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.第27页高考一轮总复习方法二：∵l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.方法三：∵l过l1、l2的交点，∴l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15.代入直线系方程，即得l的方程为5x＋3y－1＝0.第28页高考一轮总复习规律方法：运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.第29页高考一轮总复习【预测2】过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．解析：方法一：设直线l的方程为y＝k(x－3)，将此方程分别与l1、l2的方程联立，得y＝kx－，2x－y－2＝0和y＝kx－，x＋y＋3＝0.解得xA＝3k－2k－2和xB＝3k－3k＋1.P(3,0)是线段AB的中点，由xA＋xB＝6，得3k－2k－2＋3k－3k＋1＝6，解得k＝8.故所求的直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.第30页高考一轮总复习8x－y－24＝0.方法二：设l1上的点A的坐标为(x1，y1)，∵P(3,0)是线段AB的中点，则l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1)，∴2x1－y1－2＝0，－x1＋－y1＋3＝0.解方程组，得x1＝113，y1＝163.∴点A的坐标为(113，163)，由两点式可得l的方程为第31页高考一轮总复习题型三点到直线距离公式的应用【例3】已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是7105.(1)求a的值；(2)问能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的12；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是2∶5.若能，求P点坐标；若不能，说明理由．第32页高考一轮总复习解析：(1)l2即2x－y－12＝0，∴l1与l2的距离d＝|a－－1222＋－2＝7510，∴|a＋12|5＝7510，∴|a＋12|＝72.∵a＞0，∴a＝3.第33页高考一轮总复习(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在