高中数学二轮专题复习——数形结合思想总结

第页共17页-1-思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。第页共17页-2-【核心要点突破】要点考向1：利用数学概念或数学式的几何意义解题例1：实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点（a,b）对应的区域的面积；（2）的取值范围；（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．思路精析：列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积→根据的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域．解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，由此可得不等式组由，解得A（-3，1）．由，解得C（-1，0）．∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．（1）△ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）．（2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率．由图可知（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，第页共17页-3-注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（1）连线的斜率；（2）之间的距离；（3）为直角三角形的三边；（4）图象的对称轴为x=．只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．要点考向2：用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题例2：（1）已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（）(A)5(B)7(C)9(D)10(2)设有函数f(x)=a+和g(x)=,已知x∈[-4,0]时，恒有f(x)≤g(x)，求实数a的范围．思路精析：（1）画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数．（2）f(x)≤g(x)变形为→画出的图象→画出的图象→寻找成立的位置解析：（1）选C．由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x)=lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．（2）f(x)≤g(x)，即，变形得，令…………①，………………②第页共17页-4-①变形得，即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为，纵截距为1-a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为，则有tan=,,要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]时恒成立，则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5．注：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．（2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．要点考向2：数形结合在解析几何中的应用例3：已知椭圆C的中心在原点，一个焦点(0,2)F，且长轴长与短轴长的比是2:1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（Ⅲ）求PAB面积的最大值．解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为22221(0)yxabab．由题意222,:2:1,2.abcabc………………………………………………2分第页共17页-5-解得24a，22b．所以椭圆C的方程为22142yx．………………………………………………4分（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，则PB的直线方程为2(1)ykx.由222(1),1.42ykxyx得222(2)2(2)(2)40kxkkxk.……6分设(,)AAAxy，(,)BBBxy，则2222212BBkkxxk，同理可得222222Akkxk，则2422ABkxxk，28(1)(1)2ABABkyykxkxk.所以直线AB的斜率2ABABAByykxx为定值.……………………………………8分（Ⅲ）设AB的直线方程为2yxm.由222,1.42yxmyx得2242240xmxm.由22(22)16(4)0mm，得28m.……………………………………10分此时22ABmxx，244ABmxx.P到AB的距离为3md，22()()ABABABxxyy23122m则2113122223PABmSABdm222211118(8)222222mmmm.第页共17页-6-因为24m使判别式大于零，所以当且仅当2m时取等号，[所以PAB面积的最大值为2．………………………………………………………13分注：1．数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效．2．此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决．要点考向2：数形结合在立体几何中的应用例4：如图1,在直角梯形ABCD中,90ADC,//CDAB,4,2ABADCD,M为线段AB的中点.将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.(Ⅰ)求证:BC平面ACD；(Ⅱ)求二面角ACDM的余弦值.解析:（Ⅰ）在图1中,可得22ACBC,从而222ACBCAB,故ACBC.取AC中点O连结DO,则DOAC,又面ADC面ABC,面ADC面ABCAC,DO面ACD,从而OD平面ABC.…………………4分∴ODBC，又ACBC,ACODO.∴BC平面ACD.………………………………………………6分（Ⅱ）建立空间直角坐标系Oxyz如图所示,则(0,2,0)M,(2,0,0)C,(0,0,2)D(2,2,0)CM,(2,0,2)CD.………………………………………………8分设1(,,)nxyz为面CDM的法向量,第页共17页-7-则1100nCMnCD即220220xyxz,解得yxzx.令1x,可得1(1,1,1)n.又2(0,1,0)n为面ACD的一个法向量，∴12121213cos,3||||3nnnnnn.∴二面角ACDM的余弦值为33.注：1．应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置．其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算．2．立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口．【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题6分，共36分）1.方程lgx=sinx的根的个数()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-100},B={x|x3},则右图中阴影部分表示的集合为()A．(3,5)B．(-2,+)C．(-2,5)D．(5,+)3．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为（）(A)2(B)1(C)12(D)144．函数32()fxxbxcxd图象如图，则函数2233cyxbx的单调递增区间为（）A．]2,(B．),3[C．]3,2[D．),21[5．不等式组2142xaxa有解，则实数a的取值范围是（）－23yx0第页共17页-8-A．(1,3)B．(,1)(3,)C．(3,1)D．(,3)(1,)6．已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)·cosx0的解集是（）二、填空题（每小题6分，共18分）7．复数(x-2)+yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是8.已知关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不相等的实根，则实数m的范围是_______.9.设A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0}，则使AB成立的实数m的取值范围是______.三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）10．如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且2PAAD，点M、N分别在侧棱PD、PC上，且PMMD（Ⅰ）求证：AM⊥平面PCD；（Ⅱ）若12PNNC，求平面AMN与平面PAB的所成锐二面角的大小11．如图，1l，2l是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称．M到L1、L2的距离分别是