§17.1--可微性与偏导数--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件.p

一、可微性与全微分二、偏导数三、可微性条件本节首先讨论二元函数的可微性,这是多元函数微分学最基本的概念.然后给出对单个自变量的变化率,即偏导数.偏导数无论在理论上或在应用上都起着关键性的作用.§1可微性与偏导数数学分析第十七章多元函数微分学*点击以上标题可直接前往对应内容四、可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定义1设函数0(,)()zfxyUP在某邻域内有定义.000(,)(,)(),PxyxxyyUP对于0Pz可表示为的全增量0000(,)(,)zfxxyyfxy22,xy0P其中A,B是仅与点有关的常数,,xy并称(1)式中关于的线性表0,AxByfP达式为在的全微分记作§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性与全微分000d|d(,).PzfxyAxBy(2)0fP则称在可微.若f在(),(1)AxByo数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社||,||xydz由(1),(2)可见,当充分小时,全微分(,)(0,0)(,)(0,0)limlim0.xyxy这里,zAxByxy(4)z可作为全增量的近似值,在使用上,有时也把(1)式写成如下形式：0000(,)(,)()().fxyfxyAxxByy(3)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用于是有近似公式:后退前进目录退出000d|d(,)PzfxyAxBy(2)(),(1)zAxByo数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例1考察00(,)(,).fxyxyxy在任一点的可微性解f在点00(,)xy处的全增量为000000(,)()()fxyxxyyxy00.yxxyxy由于||||||xyxy().xyo因此00d.fyxxy§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用0(0),00(,),fxy从而在可微且数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社由一元函数微分学知道:若0(),fxx在可微则00()()(),fxxfxAxox其中0().Afx(,)fxy00(,)xy现在来讨论:当二元函数在点可微时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值？为此在(4)式中先令0(0),yxf这时得到关x于的偏增量为xzAxx§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用偏导数.xzAx或000000(,)(,)limlim.(5)xxxzfxxyfxyAxx于是数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数00(,).fxyxx在处的导数类似地,(4)0(0),xy在式中令又可得到000000(,)(,)limlim,(6)yyyzfxyyfxyByy它是关于y的一元函数00(,).fxyyy在处的导数二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下:§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用000000(,)(,)limlim(5)xxxzfxxyfxyAxx数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定义2.某邻域内有定义存在时,记作00(,),xfxy00(,),(,),(,)zfxyxyDfxyx设函数且在的000000(,)(,)limlimxxxzfxxyfxyxx(7)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用则当极限数,00(,)fxy在点关于x的偏导称此极限为00(,),xzxy或00(,),xyfx00(,).xyzx数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社类似地可定义00(,)fxy在点关于y的偏导数:000000(,)(,)limlim,yyyzfxyyfxyyy(7)记作00(,),yfxy注1,xy这里是专用于偏导数的符号,与一元ddx函数的导数符号相仿,但又有区别.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用000000(,)(,)(,),,.yxyxyfzzxyyy或数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社注2在上述定义中,00(,)fxy在点存在对x(或y),f的偏导数此时至少在00(,),||xyyyxx00(,),||xyxxyy或上必须有定义.种要求，§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用显然，在定义域的内点处总能满足这而在界点处则往往无法考虑偏导数．数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社(,)(,)xfxyfxyx或,,xxfz也可简单地写作(,)zfxy(,)xy若函数在区域D上每一点都存在对x(或对y)的偏导数,对x(或对y)的偏导函数(也简称偏导数),§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用记作(,)zfxy在D上则得到(,)(,),yfxyfxyy或,fzxx或,,,.yyfzfzyy或数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社偏导数的几何意义:(,)zfxy的几何图像通常是三维空间中的曲面,00,Pyy过点作平面曲面相交得一曲线：0:,(,).CyyzfxyxyzO0P图17-10y(,)zfxyC§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用000(,).zfxy点,其中0000(,,)Pxyz为此曲面上一设它与数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社偏导数00(,)xfxy的几何意义为:在平面0yy上,曲线C在点P0处的切线与x轴正向所成倾角的正切，可同样讨论偏导数00(,)yfxy的几何意义.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用xyzO0P图17-10y(,)zfxyC00(,)tan.xfxy即由偏导数的定义还知道,多元函数f对某一个自变量求偏导数,元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基本法则，对多元函数求偏导数仍然适用.是先把别的自变量看作常数,变成一数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例2323(,)2(1,3)fxyxxyy求函数在点处关于x和关于y的偏导数.求它在x=1的导数,则得1d(,3)(1,3)dxxfxfx再求f在(1,3)处关于y的偏导数.3(1,)12,fyyy求它在y=3处的导数,又得3d(1,)(1,3)dyyfyfy解先求x的偏导数.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用为此令x=1,得y=3,得32(,3)627,fxxx令21(312)15.xxx232325.yy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社2(,)34,xfxyxxy然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同样结果.例3求函数(0)yzxx的偏导数.解把yzx依次看成幂函数和指数函数,分别求得1,yzyxx通常也可先分别求出关于x和y的偏导函数:§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用22(,)23.yfxyxyln.yzxxy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社2cos(e);zuxyx22cos(e);zuyxyy2ecos(e).zzuxyz把z,x看作常数,得到把x,y看作常数,得到例4求三元函数2sin(e)zuxy的偏导数.解把y和z看作常数,得到§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社000(,),fPxyf在点可微则在由可微定义易知:若0P必连续.“连续是可微的一个必要条件．”此外,由00000(,)(,)limxfxxyfxyAx，又可得到可微的另一必要条件：§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性条件这表明:00000(,)(,)lim,yfxyyfxyBy数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定理17.1（可微的必要条件）0000(,),(,).xyAfxyBfxy于是,函数00(,)fxy在点的全微分(2)可唯一地表示为000000d(,)(,)(,).xyfxyfxyxfxyy与一元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量的微分，即d,d,xxyy若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在．此时,微分表达式(1)式中的§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社若函数f在区域D的每一点(x,y)都可微,则称函数f在区域D上可微，d(,)(,)d(,)d.xyfxyfxyxfxyy(8)定理17.1的应用:由于(,0)||,(0,)||,fxxfyy0x它们分别在0y与(0,0)xf与都不可导，即(0,0),yf都不存在(,)(0,0).fxy在点不可微故则全微分又可写为000000d(,)(,)d(,)d.xyfxyfxyxfxyy§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用22(,),fxyxy对于函数且f在D上的全微分为数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社0(,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx在原点的可微性．222222,0,(,)0,0xyxyxyfxyxy例5考察函数解按偏导数的定义先求出(0,0,)0.yf同理可得§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用000lim0;xx数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社若f在原点可微,则(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]xyfxyffxfy22xy应是的高阶无穷小量.220limxyxy却不存在(第十六章§2例3),f(x,y)在原点不可微.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用22=xyxy然而极限故此数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的．而这个例子说明:对于多元函数,偏导数即使都存在,该函数也不一定可微．还需要添加哪些条件,才能保证函数可微呢?§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用定理17.2（可微的充分条件）若函数(,)zfxy在点000(,)Pxy的某邻域内存在偏,xyff与导数且它们在点0Pf0P在点连续,则可微.那么当所有偏导数都存在时,数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社0000(,)(,)zfxxyyfxy在第一个方括号里的是函数0(,)fxyy关于x的增量;的增量.第二步对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,则12,(0,1),使得010(,)xzfxxyyx§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用0(,)fxy关于y在第二个括号里的是函数0000[(,)(,)]fxxyyfxyy0000[(,)(,)].fxyyfxy证第一