数学：1.3.2《函数的极值与导数》课件(新人教A版选修2-2)

1.3.2函数的极值与导数2013年3月25日1.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy0)(xf)(xfy2.对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,但f/(x)不恒为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数;对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,但f/(x)不恒为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数.复习用导数判断函数的单调性3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的极值2b4ac-b当x=-时,y有极值y=.2a4a由于二次函数是单峰函数，因此2b4ac-b当x=-时,y有最值y=.2a4a123-1-1-21xyO123-1-112xyOthaoh’(a)=0单调递增h’(t)0单调递减h’(t)0观察高台跳水运动图象新课定义一般地,设函数f(x)在点a附近有定义,如果对a附近的所有的点,都有()()fxfa我们就说f(a)是f(x)的一个极大值,点a叫做函数y=f(x)的极大值点.我们就说f(b)是f(x)的一个极小值,()()fxfb极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.定义一般地,设函数f(x)在点b附近有定义,如果对b附近的所有的点,都有点b叫做函数y=f(x)的极小值点.yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf练习观察上述图象,试指出该函数的极小值点,极小值,极大值点,极大值.极小值点:x2,x4.极大值点:x1,x3.极小值:f(x2),f(x4).极大值:f(x1),f(x3).-2-11234567abxyO()0fa0)(bf()0fx()0fx()0fx()0fx(1)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x0)0,右侧f/(x0)0,那么f(x0)是极大值.(2)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x0)0,右侧f/(x0)0,那么f(x0)是极小值.函数的极值与导数的关系-2-11234567abxyO()0fa0)(bf()0fx()0fx()0fx()0fx函数的极值与导数的关系xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)增f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)f(x)0f(x)0f(x)=0增减极小值因为所以例1求函数的极值.4431)(3xxxf解:,4431)(3xxxf.4)(2xxf令解得或,0)(xf,2x.2x当,即,或;当,即.0)(xf0)(xf2x2x22x当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–)(xf++单调递增单调递减单调递增3/283/4所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.求函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况练习P291下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.)(xfy)(xfyabxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfyX2是极大值点,X4是极小值点.练习P292求下列函数的极值:3(2)()27fxxx解:,0273)()2(2xxf令解得列表:.3,321xxx(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–)(xf++单调递增单调递减单调递增5454所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.解:22()3(1)20,fxxx令解得列表:1231,0,1.xxxx(–∞,–1)–1(–1,0)0(0,1)1(1,+∞)000f(x)–)(xf++1所以,当x=0时,f(x)有极小值1.例:求函数的极值.23()(1)1fxx–01假设f/(x0)存在,那么“x0为极值点”与“f/(x0)=0”有何关系？若x0是极值点,则f/(x0)=0;反之,若f/(x0)=0,则x0不一定是极值点.思考？（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值（2）极大值不一定比极小值大（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该点的导数为0例：y=x31．理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．总结(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．(如图(1))(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．2．导数为0的点不一定是极值点．31.0.0.0.0yxaxAaBaCaDa练习函数有极值的充要条件是(）B练习函数在时有极值10，求a，b的值.32()9fxxaxbx1x，解:由题设条件得：0)1(10)1(/ff1910320abab解之得33ab通过验证，合乎要求。注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验作业P324,5(2)