2.7 直角三角形的全等判定

如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，你能帮他想个办法吗?可以通过测量某些边或角的大小,利用前面所学AAS，ASA，SAS，SSS来说明这两个直角三角形全等.当每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量,而且他只带了一把卷尺时,能完成任务吗?工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗?做一做已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠α，CB=a，AB=c.acαCMNBA⑴作∠MCN=∠α=90°;⑵在射线CM上截取线段CB=a;⑶以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;⑷连接AB.作法:想一想，怎样画呢？(1)剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？BCA斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.(2)同桌两人的两个三角形满足∠C=∠C=90°,AB=AB=C,BC=BC=a吗？(甲)直角三角形全等的条件ac,,,,,(乙)BCAac,,,在使用“HL”时,同学们应注意什么?(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.(2)注意对应相等.(3)因为”HL”仅适用直角三角形,书写格式应为:∵在Rt△ABC与Rt△DEF中AB=DEAC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)ABCDEFl如图在ΔABC和ΔA’B’C’中，∠C=∠C’=RT∠AB=A’B’，AC=A’C’说明ΔABC和ΔA’B’C’全等的由。分析：AC=A’C’，无论RtΔABC和RtΔA’B’C’的位置如何.我们总是可以通过作旋转、平移、轴对称变换得到图形，如图，即Ａ‘Ｃ’和ＡＣ重合，点Ｂ'和点Ｂ分别在ＡＣ两侧.B’∵∠1=∠2=90°∴B，C，B'在同一直线上，AC⊥BB’∵AB=A'B'∴BC=B'C'（等腰三角形三线合一）∵AC=A'C'（公共边）∴RtΔABC≌RtΔA'B'C'（SSS）ＢＣ（Ｃ′）Ｂ'Ａ（Ａ‘）判断直角三角形全等条件三边对应相等SSS一锐角和它的邻边对应相等ASA一锐角和它的对边对应相等AAS两直角边对应相等SAS斜边和一条直角边对应相等HL直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”.我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法.想一想你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？例如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。请说明理由。ABPODE12解：作射线OP.因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=Rt∠.又因为OP=OP，PD=PE，所以RtΔPDO≌RtΔPEO.所以∠1=∠2，即点P在∠AOB的平分线上.1.如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？CDAB解：BC=BD∵在Rt△ACB和Rt△ADB中AB=AB,AC=AD.∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL).∴BC=BD(全等三角形对应边相等).2.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD∵在Rt△ABD与Rt△ACD中AB=ACAD=AD∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)∴BD=CD(全等三角形对应边相等).1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法AAS,ASA,SAS，SSS还有直角三角形特有的判定方法——“HL”.通过这节课的学习你有何收获？2.根据实际情况选择适当的判定条件.解决实际问题.回顾与思考爱学数学爱数学周报再见