第4章-电磁波的传播

1第四章电磁波的传播在迅变情况下，电磁场以波动形式存在．变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波．由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学科，具有十分丰富的内容．2无界空间中平面电磁波传播的主要特性电磁波在介质界面上的反射和折射有导体存在时的电磁波传播问题有界空间的电磁波在激光技术有重要应用的电磁波狭窄波束的传播等离子体的基本电磁现象主要内容：3§1平面电磁波一种最基本的交变电磁场：平面电磁波1.电磁波动方程一般情况下，电磁波的基本方程是麦克斯韦方程组0BEtDHJtDB4在自由空间中，电场和磁场互相激发，电磁场的运动规律是齐次的麦克斯韦方程组（=0,J=0情形）00BEtDHtDB真空情形:D=0E,B=0H0022EEBμεtt22EEEE0E代入上述得电场E的偏微分方程220020EEt05同样，可得磁场B的偏微分方程220020BBt001c令222222221010EEctBBct波动方程，其解包括各种形式的电磁波，c是电磁波在真空中的传播速度．在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、光波x射线和射线等）都以速度c传播，c是最基本的物理常量之一．6介质情形:研究介质中的电磁波传播问题时，必须给出D和E以及B和H的关系．当以一定角频率作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振动．由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁波，介质的电容率是不同的，即和是的函数,和随频率而变的现象——介质的色散由于色散，关系式D(t)=E(t)不成立．因此在介质内，不能够推出E和B的一般波动方程.——见第七章§672．时谐电磁波在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，辐射出的电磁波以相同频率作正弦振荡．例如无线电广播或通讯的载波，激光器辐射出的光束等，都接近于正弦波．这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色波）．在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用傅里叶（Fourier）分析（频谱分析）方法分解为不同频率的正弦波的叠加．8设角频率为，电磁场对时间的依赖关系是cost，或用复数形式表为,,ititBxtBxeExtExeE(x)表示抽出时间因子e-it以后的电场强度．在一定频率下，有D=0E,B=0H，把上式代入麦氏方程，消去共同因子e-it后得00EiHHiEEH注意：这组方程不是独立的．①④:0,0EH0,0HE②③：9取第一式旋度并用第二式得2EE22EEEE220,EkEk0E因为解出E后，磁场B可由第一式求出，iiBEEk亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解E(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模——亥姆霍兹方程10概括起来，麦氏方程组化为以下方程：2200EkEEiBE亥姆霍兹方程的每一个满足E=0的解都代表一种可能存在的波模．类似地，也可把麦氏方程组在一定频率下化为2200BkBBiiEBBk113．平面电磁波按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强E(x)可以有各种不同形式．例如从广播天线发射出的球面波，沿传输线或波导走向传播的波，由激光器激发的狭窄光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解．下面讨论一种最基本的解，它是存在于全空间中的平面波．12设电磁波沿x轴方向传播，其场强在与x轴正交的平面上各点具有相同的值，即E和B仅与x，t有关，而与y，z无关．这种电磁波称为平面电磁波，其波阵面（等相位点组成的面）为与x轴正交的平面．2220dExkExdx亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程：它的一个解：0ikxExEe场强的全表示式：0,ikxtExtEe13因此，只要E0与x轴垂直，代表一种可能的模式．以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的场强应理解为只取实数部分，即0,cosExtEkxt由条件E=0得，即要求,0xikeExt,xExte0E——电场的振幅ikxte——波动的相位因子14相位因子cos(kx-t)的意义t=0时，相位因子是coskx，x＝0的平面处于波峰．在另一时刻t，相因子变为cos(kx-t)波峰移至kx-t处，即移至x=t/k的平面上.其相速度：1dxvdtk0,ikxtExtEe表示一个沿x轴方向传播的平面波因此15真空中电磁波的传播速度为介质中电磁波的传播速度为001crrc式中r和r分别代表介质的相对电容率和相对磁导率，由于它们是频率的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速度，这就是介质的色散现象．160,ikxtExtEe选择了一个特殊坐标系，x轴沿电磁波传播方向．在一般坐标系下平面电磁波的表示式是0,ikxtExtEek式中k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为k17在特殊坐标系下，当k的方向取为x轴时，有k·x＝kx，0,ikxtExtEe图示表示沿k方向传播的平面电磁波．PSkxzyoxx0,ikxtExtEe取垂直于矢量k的任一平面S，设P为此平面上的任一点，位矢为x，则k·x＝kx’，x’为x在矢量k上的投影，在平面S上任意点的位矢在k上的投影都等于x’，因而整个平面S是等相面．180,ikxtExtEek称为波矢量，其量值k称为园波数.沿电磁波传播方向相距为x=2/k的两点有相位差2，因此x是电磁波的波长2k对上式必须加上条件E=0才得到电磁波解．00ikxtikxtEEeikEeikE因此0kE表示电场波动是横波,E可在垂直于k的任意方向上振荡.——矢量k方向传播的平面波——2弧度的波长数19E的取向称为电磁波的偏振方向．可选与k垂直的任意两个互相正交的方向作为E的两个独立偏振方向．因此，对每一波矢量k，存在两个独立的偏振波．平面电磁波的磁场0ikxtEeEikEkBEnEkn为传播方向的单位矢量．由上式得k·B=0，因此磁场波动也是横波．20E、B和k是三个互相正交的矢量．E和B同相，振幅比为1EvB在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为001EcB（用高斯单位制时，此比值为1，即电场与磁场量值相等）21概括平面电磁波的特性如下电磁波为横波,E和B都与传播方向垂直；E和B互相垂直，EB沿波矢k方向；E和B同相，振幅比为v．平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如图所示．随着时间的推移，整个波形向x轴方向的移动速度为rrvc224．电磁波的能量和能流电磁场的能量密度2211122wEDHBEB在平面电磁波情形221EB平面电磁波中电场能量和磁场能量相等，有221wEB1EvB23平面电磁波的能流密度2ˆˆSEHEnEEn1ˆˆSwnvwnwvv为电磁波在介质中的相速24由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入.例如：EaibE的物理有意义部分为a，22SEa若直接代入：22Saibaibab减少了b222020cos11cos22wEkxtEkxt计算和S的瞬时值时，应把实数表示代入25为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般公式．设f(t)和g(t)有复数表示00,ititiftfegtge和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需用到它们的时间平均值．是f(t)和g(t)的相位差.fg对一周期的平均值为2000*00dcoscos211cosRe22fgtftgtfgfg式中f*表示f的复共轭，Re表示实数部分．26由此，能量密度和能流密度的平均值为22001122wEB*2011ˆ22SEHEn27§4.2单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射ReflectionandRefractionofMonochromaticPlaneElectromagneticWaveatInterfaceofMedium本节所要研讨的问题是：用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。28关于反射和折射的规律包括两个方面：运动学规律:入射角、反射角和折射角的关系；动力学规律:入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。1、反射和折射定律（即相位关系）研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。29一般情况下，电磁场的边值关系为：21212121ˆ()0ˆ()ˆ()ˆ()0nEEnHHnDDnBB介质的分界面上，通常没有自由电荷和传导电流，即0,021212121ˆ()0ˆ()0ˆ()0ˆ()0nEEnHHnDDnBB30但是，在一定频率的情况下，这组边界方程（边值关系）不是完全独立的。因此，在讨论定态（一定频率）电磁波时，介质界面上的边值关系只取下列两式：2121ˆ()0ˆ()0nEEnHH也就是说2121,ttttEEHH——切向连续性31反射和折射定律假若所考虑的交界面为一平面，即设x-y平面，考虑一单色平面电磁波入射到交界面上，设在z=0平面的上、下方的介质不同，如图所示xzkkk①②EEE1122设入射波、反射波和折射波的电场强度为、，波矢量分别为、。由Fourier频谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也是平面波。EEE和kkk和32把入射波、反射波和折射波写为：()0()0()0ikxtikxtikxtEEeEEeEEe入射波反射波折射波由可得磁场矢量为：BEt()()00()()00()()00111ikxtikxtikxtikxtikxtikxtBBekEeBBekEeBBekEe入射波反射波折射波33在z=0的平面所有的点必须满足边界条件。意味着：在z=0处，所有场的空间和时间变化必须相同。即，所有的相因子在z=0处必须相等.波矢量方向之间的关系．ˆˆ()nEEnE()()()00000ikxtikxtikxtttztzEeEeEe边界条件要使该式成立，只有00000000ttztzzzzEEEkxtkxtkxt以及34因为x、y、t都是独立变量，必然有xyxyxykxkytkxkytkxkyt因此xxxyyykkkkkk讨论：①由于，说明反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。35②根据