大学物理5功和能

2.变力的功元位移：元功：FΔr一、功功率1.恒力的功FadrFa§4.1功acosrFArFrdrdFdArdFArdrdFF),cos(SFrdFF),cos(dSFSrdFArddS功：此式的意义是合力的功等于各分力功之和。kFjFiFFzyxkzjyixrkdzjdyidxrdrdFdAdzFdyFdxFzyxdzFdyFdxFAzyxdzFdyFdxFAzyxdSFAS方法一、方法二、rFA方法三、功的几何意义：功在数值上等于示功图曲线下的面积。3.功率平均功率:瞬时功率:F(x)x0示功图dxF12xx21xxxdxFAtANdtdANdtrdFvF例设作用在质量为2kg的质点上的力是N。当质点从原点移动到位矢为m处时，此力所作的功有多大？它与路径有无关系？jiF53dyFdxFrdFdAyxjir321010yyyxxxdyFdxFA)()(0101yyFxxFyx)03(5)02(3J9解：例、设作用在质量为2kg的物体上的力F=6tN。如果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作了多少功？解：ttmFa326taddvtttad3ddv两边积分：ttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2v20420249d236dttttxFWJ36dθθmgTmdrθFL[例]有一单摆，用一水平力作用于m使其缓慢上升。当θ由0增大到θ0时，求:此力的功。0gmTFgmTFrdgmTrdFdA)(rdgmdsmg)2/cos(dsmgsindmgLsin00sindmgLA解：)cos1(0mgL例：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数m，在外力作用下小物体（质量m）以速率v做匀速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。r解：小物体对环带压力rvmN2走一段小位移s所做的功dsrvmNdsdA2转一周222mvdsrvmdAA例：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从顶端有摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体时速度v，求：摩擦力所做的功。RMmBA解：对在任意位置的小球作受力分析dramgmNfgmNamfrdgmNamrdfdAf)(rdgmrdamrdgmrddtvdmdsmgvdvmcosmgfN)(kvjvivvzyxzzyyxxdvvdvvdvv)(21222zyxvvvd221dvvdvvdvvdvdsmgmvdvdAfcosRdmgmvdvcos2/00cosRdmgmvdvAvfmgRmv221)(kvjvivvdvzyxRMmBA)(kdvjdvidvzyx动能定理和动量原理比较：力的空间累积效应力的时间累积效应§4.2动能定理mvdvrdFdAmdvdtdrmvdv020221210kkvvEEmvmvmvdvdAA一、质点动能定理221mvEk0kkEEA令质点受合外力的功等于质点动能的增量—质点动能定理2022121mvmvrdF0vmvmdtF例以铁锤将一铁钉击人木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能将小钉击人木板内1cm，问击第二次时能击人多深。假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。铁锤前后两次与钉接触前速度为v0x2s1s解：设铁锤的质量为M，钉子的质量为m铁锤与钉子碰撞时动量守恒，得：M()Mmv0+v=Mm∵∴v0v=Axk1d=1s0x0m=12v02Axkd=2sx1s12=k1s212k2s2=2sΔs1s=1s21()=0.41cm设第一次击入深度为s1，由动能原理：设第二次击入深度从s1,到s2，由动能定理：m=12v02(2)12m=k1s212v02(1)=1s22s22=1s2s2由(1)、(2)得到：12=k1s2二、质点系动能定理FF22FFF32332313FFFF1311212121012111131121112121:vmvmrdFrdFrdFm22022222232222222121:vmvmrdFrdFrdFm12kkEEAA内外质点系内力和外力的功等于质点系动能的增量—质点系动能定理§4.3势能系统内力总是成对出现2211rfrfA一对力所做的功，等于其中一个物体所受的力沿两个物体相对移动的路径所做的功。OA1A2B1B2r1r2r21f1f2r1r2212122)(rfrrf一、一对力的功二、保守力有心力为例rrfrFˆ)()(rdrFdA)(rdrxiyjzkdxidyjdzkxdxydyzdz()()()12222dxyz()rdrdrrfdA)(roFrrrrˆrdrrrf)(0)()2()1(ABBAABArdrFAAB(1)(2)BAABABdrrfAA)()2()1()2()2(BAABAA所做的功与路径无关，这种力称为保守力。保守力沿任意闭合路径所做的功为零。万有引力、静电力、弹性力与保守力相对的称为耗散力，如摩擦力。三、势能在保守力场（在任意点受保守力的作用），质点从A--B，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的函数，A点的函数值减去B点的函数值，定义为从A--B保守力所做的功，该函数就是势能函数。ABABPBPAAEE保守力的功等于系统势能增量的负值选参考点（势能零点），设0PBEdrrfAEBArrABPA)()(PAPBABEEAPE此式表明重力的功只决定于作功的起点和终点而与作功的路径无关。yx0yyAABBdrP1.重力的功、重力势能§4.4重力势能、万有引力势能、弹性力势能BAyymgdyA重力的功：rdPdA)()(jdyidxjmgmgdyBAmgymgy设yEBpB00,ApApBpAymgEEE则重力势能：ymgEpBAABmgymgyA2.万有引力的功、万有引力势能rdFdAθdrFrdr太阳地球MmrABrAB)(2rrdrrmMGrdrmMG22rmMGF)(2rrrmMGFBArrABrdrmMGA2)(BArmMGrmMG讨论：1.势能为系统所有。2.对于非保守力不能引入势能的概念。3.势能是系统内各物体位置坐标的单值函数。4.引入势能的一个重要目的是为了简化保守力功的计算。5.A点的势能在数值上等于将物体从该点移到无穷远处保守力所作的功。若取无穷远处为引力势能的零点，则A点的势能为：rmMGEEPrP0APArdFE)(mMGrmMGAArmMG例：6500万年小行星撞地球。设小行星半径为10km,密度为6.010kg/m，它撞入地球将释放多少引力势能？这能量是唐山地震估计能量的多少倍？33解：小行星。设小行星撞入地球将释放的引力势能为：)(hRmGMRmGMEEERhRmGMEE334AErRGMEJ24106.1是唐山地震估计能量（约10J）的10倍1863、弹性力的功和弹性势能弹性力的功：自然长度xB=0，弹性势能为零rdrA设弹簧原长为r0rrrkFˆ)(0rdrrrkrdFdAˆ)(0drrrk)(0drrdrˆBArrdrrrkA)(02020)(21)(21rrkrrkBA222121BAkxkx)(PAPBEE221kxEPkxdxFkx=Fdx==dAkxAB()1221kx22=EpΔpBpA=()EEx自然长度弹簧XF0kxdx==BAAxx弹性势能：自然长度xB=0，弹性势能为零221kxEP§4.5由势能求保守力PBPAABEEAPEBAldF保0)()(0rrPPldFrErErrldF0dlFcosdlFlFlFlldFrdEP)(dldEFPl),,(zyxEEPPxEFPxyEFPyzEFPz])()()[(kzEjyEixEFPPP例：)()(22121rmGmrmGmdrdFrkxkxdxdFx)21(2AAA非保内外保内=++质点系由状态A—状态B,有质点系的动能定理：将动能定理推广到质点系:AA外内+A==AAA非保内外保内++A=保内...1、系统的功能原理：§4.6功能原理、机械能守恒定律)(PAPBEEkAkBiiAiiiBiEEvmvmA222121kAkBEEAAA非保内外保内=++pApBEE)(A=保内...AA非保内外=+pApBEE)(AA非保内外=+系统的功能原理：kAkBEEkAkBEE)()(PAkAPBkBEEEEABEEPkEEE为系统机械能12EEAA非保内外由系统的功能原理：若：=AA非保内外+0则：这就是机械能守恒定律。2、机械能守恒定律12EEAA非保内外12EEPkEEE[例]设地球半径为R，一质量为m的物体，从静止开始在距地面R处自由下落。求：它到达地球表面时的速度。解：=EpBEpA=GMmR2GMmR由机械能守恒定律：GM=vRMRRmAB地球22102mvRGMmRGMm例一地下蓄水池，面积为50m2贮水深度为1.5m。假定水平面低于地面的高度是5.0m。问要将这池水全部吸到地面，需作多少功？若抽水机的效率为80％，输入功率为35kw，则需多少时间可以抽完？=h0=h11.5m5.0m=h11.5m=h05.0m已知：入=P35kWh=80%s=50m2求：tAghmdd=解：ρsmd=hd+A=h0h1h0ρsdhhg()1222h0h1ρsg+h1=5.0×2=12×××103509.81.521.51××+×()J=4.23×105h=103=tA出入P=4.23×1050.8351.51102s×××AP=出入出t=Phh0dhh例：链条总长为L，质量为m，初始时刻如图悬挂，链条与桌面间的摩擦系数为，链条由静止开始运动，求：（1）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？（2）、这时候链条的速度？Laa解：当链条在桌面上的长度为x时，摩擦力fmgxL（1）、dAfdxmgxLdxfAmgxLdxmgLLafLa022()（2）、由功能原理)2()2121(2aaLmgmgLmvAfvgLLaLa[()()]222例**：一颗星体在外力作用下不断塌缩，当它的半径小于某一值R0时，我们就再也测不到该星体了，即星体上的任何粒子均不能逃离该星体，这样一个引力极大的区域就称为黑洞，试估算R0与黑洞质量M的关系。解：光子E静02cmhEk