2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3,含答案)

12018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷3）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,在涂选其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的。）1．已知集合|10Axx≥，012B，，，则AB（）A．0B．1C．12，D．012，，2．12ii（）A．3iB．3iC．3iD．3i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）4．若1sin3，则cos2（）A．89B．79C．79D．895．522xx的展开式中4x的系数为（）A．10B．20C．40D．8026．直线20xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是（）A．26，B．48，C．232，D．2232，7．函数422yxx的图像大致为（）8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，2.4DX，46PXPX，则p（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.39．ABC△的内角ABC，，的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为2224abc，则C（）A．2B．3C．4D．610．设ABCD，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A．123B．183C．243D．54311．设12FF，是双曲线22221xyCab：（00ab，）的左，右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若16PFOP，则C的离心率为（）A．5B．2C．3D．212．设0.2log0.3a，2log0.3b，则（）A．0ababB．0ababC．0ababD．0abab3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=1,2a，=2,2b，=1,λc．若2∥ca+b，则________．14．曲线1xyaxe在点01，处的切线的斜率为2，则a________．15．函数cos36fxx在0，的零点个数为________．16．已知点11M，和抛物线24Cyx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若90AMB∠，则k________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分。17．（12分）等比数列na中，15314aaa，．⑴求na的通项公式；⑵记nS为na的前n项和．若63mS，求m．418．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式⑶根据⑵中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22nadbcKabcdacbd，20.0500.0100.0013.8416.63510.828PKkk≥．519．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．⑴证明：平面AMD⊥平面BMC；⑵当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC：交于A，B两点．线段AB的中点为10Mmm，．⑴证明：12k；⑵设F为C的右焦点，P为C上一点,且0FPFAFB．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．621．（12分）已知函数22ln12fxxaxxx．⑴若0a，证明：当10x时，0fx；当0x时，0fx；⑵若0x是fx的极大值点，求a．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，O⊙的参数方程为cossinxy，（为参数），过点02，且倾斜角为的直线l与O⊙交于AB，两点．⑴求的取值范围；⑵求AB中点P的轨迹的参数方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数211fxxx．⑴画出yfx的图像；⑵当0x∈，，fxaxb≤，求ab的最小值．7参考答案一、选择题1．答案：C解答：∵{|10}{|1}Axxxx，{0,1,2}B，∴{1,2}AB.故选C.2．答案：D解答：2(1)(2)23iiiii，选D.3．答案：A解答：根据题意，A选项符号题意.4．答案：B解答：227cos212sin199.故选B.5．答案：C解答：25103552()()2rrrrrrCxCxx，当2r时，1034r，此时系数22552240rrCC.故选C.6．答案：A解答：由直线20xy得(2,0),(0,2)AB，∴22||2222AB，圆22(2)2xy的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20xy的距离为222211，∴点P到直线20xy的距离的取值范围为222222d，即232d，∴1||[2,6]2ABPSABd.7．答案：D解答：当0x时，2y，可以排除A、B选项；又因为322424()()22yxxxxx，则()0fx的解集为22(,)(0,)22U，()fx单调递增区间为2(,)2，2(0,)2；()0fx的解集为22(,0)(,)22U，()fx单调递减区间为2(,0)2，2(,)2.结合图象，可知D选项正确.8．答案：B解答：由~(10,)XBp，∴10(1)2.4DXpp，∴210102.40pp，解之得120.4,0.6pp，由(4)(6)PXPX，有0.6p.9．答案：C8解答：2222cos1cos442ABCabcabCSabC，又1sin2ABCSabC，故tan1C，∴4C.故选C.10．答案：B解答：如图，ABC为等边三角形，点O为A，B，C，D外接球的球心，G为ABC的重心，由93ABCS，得6AB，取BC的中点H，∴sin6033AHAB，∴2233AGAH，∴球心O到面ABC的距离为224(23)2d，∴三棱锥DABC体积最大值193(24)1833DABCV.11．答案：C解答：∵2||PFb，2||OFc，∴||POa；又因为1||6||PFOP，所以1||6PFa；在2RtPOF中，22||cos||PFbOFc；∵在12RtPFF中，2222121212||||||cos2||||PFFFPFbPFFFc，∴222222222224(6)464463322bcabbcabcacabcc223ca3e.12．答案：B解答：∵0.2log0.3a，2log0.3b，∴0.31log0.2a，0.31log2b，∴0.311log0.4ab，∴1101ab即01abab，又∵0a，0b，∴0abab，故选B.9二、填空题13．答案：12解答：2(4,2)ab，∵//(2)cab，∴1240，解得12.14．答案：3解答：(1)xxyaeaxe，则(0)12fa，所以3a.15．答案：3解答：由()cos(3)06fxx，有3()62xkkZ，解得39kx，由039k得k可取0,1,2，∴()cos(3)6fxx在[0,]上有3个零点.16．答案：2解答：依题意得，抛物线C的焦点为(1,0)F，故可设直线:(1)ABykx，联立2(1),4,ykxyx消去y得2222(24)0kxkxk，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则212224kxxk，121xx，∴12124()2yykxxkk，2121212[()1]4yykxxxx.又11(1,1)MAxy，22(1,1)MBxy，∴1212(1)(1)(1)(1)MAMBxxyy12121212()1()1xxxxyyyy2224411410kkk，∴2k.三、解答题17．答案：（1）12nna或1(2)nna；（2）6.解答：（1）设数列{}na的公比为q，∴2534aqa，∴2q.∴12nna或1(2)nna.（2）由（1）知，122112nnnS或1(2)1[1(2)]123nnnS，∴2163mmS或1[1(2)]633mmS（舍），∴6m.18．10解答：（1）第一种生产方式的平均数为184x，第二种生产方式平均数为274.7x，∴12xx，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.（2）由茎叶图数据得到80m，∴列联表为（3）222()40(151555)106.635()()()()20202020nadbcKabcdacbd，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19．解答：（1）∵正方形ABCD半圆面CMD，∴AD半圆面CMD，∴AD平面MCD.∵CM在平面MCD内，∴ADCM，又∵M是半圆弧CD上异于,CD的点，∴CMMD.又∵ADDMDI，∴CM平面ADM，∵CM在平面BCM内，∴平面BCM平面ADM.（2）如图建立坐标系：∵ABCS面积恒定，∴MOCD，MABCV最大.(0,0,1)M，(2,1,0)A，(2,1,0)B，(0,1,0)C，(0,1,0)D,设面MAB的法向量为111(,,)mxyzur，设面MCD的法向量为222(,,)nxyzr，(2,1,1)MA，(2,1,1)MB，(0,1,1)MC，(0,1,1)MD，11111120(1,0,2)20xyzmxyz，同理(1,0,0)n，，11∴15cos55，∴25sin5.20．解答：（1）设直线l方程为ykxt，设11(,)Axy,22(,)Bxy,22143ykxtxy联立消y得222(43)84120kxktxt，则2