VaR

1风险价值（VaR）南京大学金融学系林辉[e-mail]2第一节风险价值的定义1.VaR的含义ValueatRisk译为风险价值或在险价值，风险的货币表示。VaR是指在某一给定的置信水平下，资产组合在未来特定的一段时间内可能遭受的最大损失（Jorion，1997）。置信水平C：通常为99％（BCBS，1997）或95％（JPMorgan），置信度越大VaR越大持有期：10个交易日（BCBS，1997），持有期越长VaR越大3如何理解VaR：金融风险的“天气预报”A银行2004年12月1日公布其持有期为10天、置信水平为99%的VaR为1000万元。这意味着如下3种等价的描述：A银行从12月1日开始，未来10天内的资产组合的损失大于1000万元的概率小于1%；以99％的概率确信，A银行在未来10天内的损失不超过1000万元；42.VaR的优点精确性：借助于数学和统计学工具，VaR以定量的方式给出资产组合下方风险（DownsideRisk）的确切值。综合性：将风险来源不同、多样化的金融工具的风险纳入到一个统一的计量框架，将整个机构的风险集成为一个数值。通俗性：货币表示的风险，方便沟通和信息披露JPMorgan的CEOWeathstone要求每天《4.15报告》只产生一个数字的风险计量方法，计量不同交易工具，不同部门综合后的风险。截止到1999年，BCBS监管下的71家银行中有66家对公众披露VaR53.VaR的数学表示Pr()1VVaRc损失：盯市计算置信水平()1VaRfxdxc6ΔVprΔV*VaR收益损失1-CVaR计量的是资产组合的下方风险(DownsideRisk)，虽然这种风险发生的概率只有5％或者1％，但是危害性大，所以银行要加以防范。第二节VaR计算的基本模型不妨将A银行的全部资产看成1个资产组合，期初（比如2004.12.6）的盯市价值为V0，10天后其资产价值如下图其中，r是持有期的回报率，如果在某个置信水平C下，第10天资产组合的某个置信水平的最低价值为V*，则V0持有期＝10天V0（1＋r）0(1)VVr随机变量8回忆：资产组合在未来一段时间内可能的最大损失。若以绝对损失定义（绝对VaR）**00000()(1)VaRVVVVVVrVr已知的量需要估计的未知量注：(1)约定俗成，VaR一般以正数表示；(2)计算VaR就相当于计算最小的V*值或回报率r*。VaR的另一种表达：以回报的均值为参照——相对损失，称为相对VaR。假定A银行未来（1个月）回报的概率分布如下图所示*$8,000,000($25,800,000)$33,800,000VaRVV累计分布达到5％所对应的资产价值变化为-$25,800,000。10第三节VaR计算之一：解析法1.解析法（方差-协方差法、参数法）借助统计学，利用历史数据拟合回报率r的统计分布，如正态分布、t分布、广义误差分布（GED分布）等由分布的参数来估计回报率r在某个置信水平下的最小值11例子：假定回报服从正态分布*111%0.01~(0.01,0.04)0.299%,2.33,2.330.20.010.465ccrrNzczzr若可以查正态分布表得到所以假定A银行期初的资产市值V0＝$10,000,000，根据历史资料，其资产月回报率r服从正态分布，即1个月内该银行的回报率为这里我们也可以发现方差计量风险的缺点，在回报率方差为0.004的条件下，但回报率可以低到-46.5%。参数12*0000(1)$10,000,000(0.465)$4,650,000VaRVVVVrVr含义：在1个月内，该银行有99％概率确信其损失不大于372万美元，或者说损失大于372万的可能性只有1％。若以绝对VaR来计算解析法的计算公式21100100~(,),()ccccrNrzrzVaRVrVzVzV若某个持有期内（1个小时，1天，1个月...)回报率为则故由上面的例子我们不难发现正态分布具有对称性平方根法则00cVaRVzTVT假定资产回报率是在1天（月）的持有期上计算出来的，现在要计算T天（月）持有期下的VaR，此时就要采用平方根法则i1,()()TTiirTErErT若每日回报为天的平均回报就是221T()()()TTiTiDrDrTDrT若每天的方差为，且各天之间相互独立，则天的方差为15解析法释义00()()ccVaRVzTTVz每单位资产偏离了正常的状态的程度，或者异常——风险。在解析法下，资产的VaR等于期初资产的盯市价值乘上方差和某个置信水平下的分位数，减去资产的平均价值。16VprV0uV*VaR损失1-C解析法的计算实例假定A银行期初的资产市值V0＝$8,000,000，根据历史资料，其资产月回报率服从正态分布，即1个月内该银行的回报率为~(0.01,0.04)rN现在求其1个季度（3个月）的99％置信水平的VaR00=8,000,0002.330.238,000,0000.013=6,217,085.41062cVaRVzTVT18第三节VaR计算方法之二：历史模拟法2.历史模拟法（HistoricalSimulation）基本思想：历史可以再现，明天的情形可能是历史上的所有情形中的一种。非参数方法，区别于参数法，不需要估计均值、方差等参数例：计算S证券明日的99％置信水平下的VaR。得到S证券今日之前1001个交易日的收盘价，并由此计算得到1000个交易日的涨跌幅。假定这1000种涨跌幅在明天都有可能发生，以今日价格为基础，那么明天的价格就有1000种可能。收盘价格涨跌幅明日（12月7日）可能的价格2000102111.552000102211.15-0.47.882000102311.690.548.822000102411.65-0.048.242000102511.80.158.432000102812.70.99.182000102912.28-0.427.862000103011.79-0.497.792000103112.10.318.592000110111.45-0.657.632000110411.750.38.58200411228.63-0.028.26200411238.61-0.028.26200411248.23-0.387.9200411278.2-0.038.25200411288.280.088.36200411298.550.278.55200411308.42-0.138.15200412018.650.238.51200412048.780.138.41200412058.6-0.188.1200412068.28-0.327.961000种可能的价格（局部）20将S证券未来1000种可能的价格由小到大排序，那么99％置信水平下的最大损失就是对应于第10种最坏的情形。将今天（12月6日）的价格－明天（估计的）1000种中第10个最坏情形的价格，就得到了99％置信水平下、持有期为1天的VaR。*08.277.221.05VaRVV（元）21历史模拟法的计算步骤1.收集资产的历史样本，计算历史上资产的回报分布。2.假设资产未来回报的概率分布与其历史是同分布的，故可用历史上的资产回报的分布来表示未来价格的波动，并得到未来可能的N种价格。3.将N种未来的资产价格从小到大排序，第N×（1－c）％个就是置信水平为C的最坏价格4.当前价格与最坏价格相减，就得到VaR。223.蒙特卡洛模拟（Montesimulation）蒙特卡洛模拟也是一种非参数方法，其计算原理与历史模拟法相同，都是通过模拟资产回报的路径得到各种可能结果，从而在得到的组合损益分布的基础上，通过分位数来求得VaR。与历史模拟不同的是，蒙特卡洛模拟法对资产价格分布的估计不是来自于历史的观测值，而是通过产生大量的随机数得到的。本质：把所有的可能列出第三节VaR计算的三种方法23基本步骤：情景产生：通过产生服从某种分布的随机数，构造可能可能情景（比如东南亚金融危机）。资产估值：在每个情景下计算资产的价格。估计VaR：根据资产价格分布，计算某个置信水平下的VaR。例如：模拟1000个情景，从而得到资产价格的1000个可能结果，由此得到价格的分布，根据最不利的50个情景（95％置信水平）或最不利的第10个情景（99％置信水平）例：模拟一个股票的运动轨迹，初始的价格为10元，回报率为1％，波动率（标准差）为5％，模拟1000次，计算95％置信水平的VaR。采用Matlab6.5编程得到的价格分布如图所示由此便可计算得到95％的VaR（参见程序）25第四节银行资本充足性标准:VaR方法VaR方法的实质：允许符合条件的金融机构采用自己开发的VaR模型计算其防范风险的最小充足资本巴塞尔的标准法受到JPMorgan和G30的严厉指责。G30：商业银行赖以生存的技能之一就是对其具有个性化的资产组合建模，由此产生“内部模型法”（IRB）。1996年，BCBS市场风险补充规则允许运用内部风险管理的VaR模型作为计算资本充足性的基础。26基于VaR的最小充足资本计算原理：商业银行t日前1天的VaR值和前60天平均VaR的k倍，取两者之间的最大值，就是t日的最小风险资本（Minriskcapital）60111max(,)60ttitiMRCkVaRVaRk其中，为监管部门规定的一个谨慎性乘数如果模型不准确将加大处罚力度！27后验测试与惩罚后验测试（Backtesting）：VaR计算的风险对实际风险的覆盖程度。监管部门定期测试银行的内部模型。-0.3-0.2-0.10.00.1实际回报GARCH-N(95%)GARCH-T(95%)EGARCH-GED(95%)GARCH-N(99%)GARCH-T(99%)EGARCH-GED(99%)250天后验测试示意图后验测试与惩罚BCBS规定：在连续250日内，监管部门测算银行的实际损失超过VaR测量结果的天数平均不能超过5天。内部模型不准确的惩罚结果出现偏差的天数谨慎性乘数K绿灯区≤4353.463.5黄灯区73.6583.7593.85红灯区≥10429第五节VaR的其他用途信息披露1998年美国证券交易委员会的市场风险披露规则“FRRNo.48”要求所有规模较大的上市公司必须选择包括VaR在内四种方式定量披露公司暴露的风险（不仅仅是市场风险）比较经营效率同等VaR情况下，那个部门的收益高。设置头寸限额整个银行的VaR分配给分支机构。30第六节VaR的缺陷与改进1.线性计量风险若初始头寸增加n倍，风险增加n倍，风险随头寸线性递增，忽略流动性风险的存在。研究前沿：LTCM公司事件后，国际学术界提出了La-VaR（Liquidity-adjustedVaR）。000()()ccVaRVzTTnpzTTnp其中：表示头寸，表示盯市价值31第五节VaR的缺陷与改进2.不满足一致性公理（CoherentAxiom），1997年由Artzner等提出。根据资产组合的风险分散原理：资产组合的总风险小于或者等于组合中各部分的风险之和，但VaR有时候不满足。假定A银行有两个分行：A1和A2分行，若不满足一致性，就会导致VaRA1＋VaRA2≤VaRA荒谬结果：一个包含多个部门的金融机构只要将其资产分别划给其下的各个部门，由各个部门分别计算VaR后求和，就可以使整个金融机构的风险下降。研究前沿：CVaR（ConditionalVaR）条件VaR模型，目前加拿大已经开始试用。95%的VaRCD损益概率资产C和D在95％置信水平下的VaR是相同的，实际上