2013高考数学复习课件 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 理 新人教版

1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_______________.(2)商数关系：____________.sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanα2．填表函数角sincostan－α_________________π－α__________________π＋α__________________2π－α__________________2π＋α______________－sinαsinα－sinα－sinαsinαcosα－cosα－cosαcosαcosα－tanα－tanα－tanαtanαtanα3.余角函数关系sinπ2－α＝____，cosαcosπ2－α＝____.sinαsinπ2＋α＝____，cosαcosπ2＋α＝______.－sinα1．sin－116π＝()A．－12B.12C．－32D.32解析：sin－116π＝sin－2π＋16π＝sinπ6＝12.答案B2．已知sinπ2＋α＝453π2＜α＜2π，则cosπ2＋α的值是()A.34B.35C.12D.25解析：因为sinπ2＋α＝cosα＝45，又3π2＜α＜2π，所以sinα＝－35，cosπ2＋α＝－sinα＝35.故选B.答案B3．若sinα＝cosβ，－π2＜α＜π2，0＜β＜π，则α＋β的值为()A.3π2B．πC.π2D．0解析：由sinα＝cosβ＝sinπ2－β，故α＋β＝π2＋2kπ(k∈Z)，又－π2＜α＜π2，0＜β＜π，故－π2＜α＋β＜3π2，所以k＝0，则α＋β＝π2.答案C4．已知sin(α＋30°)＝12，60°＜α＜150°，则sin(15°－α)＝________.解析：因为60°＜α＜150°，所以90°＜α＋30°＜180°，－135°＜15°－α＜－45°.又sin(α＋30°)＝12，则cos(α＋30°)＝－32.所以sin(15°－α)＝sin[45°－(α＋30°)]＝22－32－12＝－6＋24.答案：－6＋241．掌握三角函数的三种基本题型．(1)求值题型．已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个求其他两个，应特别注意开方运算时根号前正负号的选取，应根据题设条件是否指明角所在的象限，确定最后结果是一组解还是两组解．(2)化简三角函数式．化简是一种不指明答案的恒等变形．三角函数化为最简形式的标准是相对的，一般是指函数种类要最少，项数要最少，函数次数尽量低，能求出数值的要求出数值，尽量使分母不含三角形式和根式．(3)证明简单的三角恒等式，一般方法有三种：由繁杂的一边证到简单的一边；证明左右两边等于同一个式子；证明与原恒等式等价的式子，从而推出原式成立．2．在计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：(1)“1”的代换．(2)切化弦．利用商数关系把正切化为正弦或余弦函数．(3)整体代替．将计算式适当变形，使条件可以整体代入，或将条件适当变形，找出与算式之间的关系．3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题．具体步骤为负角化正角→正角化锐角→求值．4．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似kπ±α的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．5．必须熟记一些特殊角的三角函数值，做到“见角知值，见值知角”．(即时巩固详解为教师用书独有)考点一同角三角函数的求值【案例1】已知sinα＝255，π2απ，求tanα.关键提示：先求出cosα的值，再利用tanα＝sinαcosα求值．解：由sin2α＋cos2α＝1，π2απ得cosα＝－55，所以tanα＝sinαcosα＝－2.分析：先对条件和结论利用诱导公式化简，转化为角α的三角函数，再利用同角三角函数的基本关系式代入求值．【即时巩固1】已知sin(π＋α)＝12，求sin(2π－α)－1tanα－π·cosα的值．解：因为sin(π＋α)＝－sinα＝12，所以sinα＝－12，所以sin(2π－α)－1tanα－π·cosα＝－sinα＋cosπ－αsinπ－α·cosα＝－sinα－cos2αsinα＝－sin2α＋cos2αsinα＝－1sinα＝2.考点二利用同角三角函数关系式及诱导公式进行证明【案例2】已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：sinπ－α＋5cos2π－α3cosπ－α－sin－α＝－35.关键提示：先化简已知等式，找出sinα与cosα的关系式，再代入等式左边进行化简求值．证明：因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，所以－sinα＝2cosα，即sinα＝－2cosα，所以左边＝sinα＋5cosα－3cosα＋sinα＝－2cosα＋5cosα－3cosα－2cosα＝3cosα－5cosα＝－35＝右边，所以sinπ－α＋5cos2π－α3cosπ－α－sin－α＝－35.【即时巩固2】已知sinα＋π4＝35，求cosα－π4的值．解：cosα－π4＝cosπ4－α＝sinπ4＋α＝35.考点三利用方程的思想解决三角问题【案例3】已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．关键提示：(1)(sinx±cosx)2＝1±sin2x，从而sinx＋cosx与sinx－cosx通过平方关系可相互转化．(2)由(1)得到sinx－cosx的值后，只需运用sin2x＝2sinxcosx及tanx＝sinxcosx，即可化简．解：(1)由sinx＋cosx＝15，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，所以2sinxcosx＝－2425.所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925.因为－π2x0，所以sinx0，cosx0，sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.(2)sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋sinx1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.分析：首先化简所给三角函数式，然后结合韦达定理求值．解：sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2(sinαcosα)2，【即时巩固3】已知α和α是关于x的一元二次方程2x2＋(2＋1)x＋m＝0的两个根，试求sin4α＋cos4α的值．由韦达定理可得α＋α＝－2＋12，αα＝m2＝α＋α2－12＝22－18，所以m＝22－14.于是原方程化为2x2＋(2＋1)x＋22－14＝0，其判别式Δ＝(2＋1)2－4×2×22－14＝5－22＞0，所以方程存在实根，所以原式＝23＋4232.