2013高考数学复习课件 4.3 三角函数的图象与性质 理 新人教版

函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象1．用“五点法”作正弦函数的图象时，所作的五个点是_____________________________________．2．用“五点法”作余弦函数的图象时，所作的五个点是_____________________________________．(0,0)、π2，1、(π，0)、32π，－1、(2π，0)(0,1)、π2，0、(π，－1)、32π，0、(2π，1)4.对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的_____．对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期函数中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的___________．f(x＋T)＝f(x)周期最小正周期5．正弦函数是_________，______________都是它的周期，最小正周期是___.周期函数2kπ(k∈Z且k≠0)2π6．余弦函数是_________，______________都是它的周期，最小正周期是___.7．正切函数是_________，________________都是它的周期，最小正周期是__.8．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω≠0)的最小正周期T＝___.2π|ω|周期函数2kπ(k∈Z且k≠0)2π周期函数πkπ(k∈Z，且k≠0)1．如果函数y＝－2sin(x＋φ)是偶函数，则φ的值可以是()A.π4B．πC.π2D.π3解析：当φ＝π2时，y＝－2cosx，是偶函数，故选C.答案C2．要得到函数y＝sinx2－π4的图象，只需将函数y＝sinx2的图象上所有的点()A．向右平移π2个单位B．向左平移π2个单位C．向右平移π4个单位D．向左平移π4个单位解析：由y＝sin12x－π2，故选A.答案A3．函数y＝cos2x－sin2x的最小正周期是()A.π2B．πC.3π2D．2π解析：因为y＝cos2x－sin2x＝cos2x，所以T＝π.答案：B4．下列函数中以π为周期，且图象关于直线x＝π3对称的函数是()A．y＝2sinx2＋π3B．y＝2cosx2－π6C．y＝sin2x＋π6D．y＝cos2x＋π3解析：由于T＝π，排除A，B，当x＝π3时，y＝cos2x＋π3＝cosπ＝－1，故符合题意．答案D考点一三角函数的定义域问题【案例1】求下列函数的定义域：(即时巩固详解为教师用书独有)(1)y＝cosx＋tanx；(2)y＝lg(2sinx－1)．关键提示：列不等式(组)结合图象求解即可．解：(1)由函数式有意义得cosx≥0，tanx≥0，即2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，kπ≤x＜kπ＋π2，k∈Z.所以2kπ≤x＜2kπ＋π2(k∈Z)．由图可知函数y＝cosx＋tanx的定义域是x2kπ≤x＜2kπ＋π2，k∈Z.(2)由函数式有意义得2sinx－1＞0，所以sinx＞12，即2kπ＋π6＜x＜2kπ＋5π6，k∈Z，所以函数的定义域是x2kπ＋π6＜x＜2kπ＋5π6，k∈Z.【即时巩固1】求函数y＝cosxlg1＋tanx的定义域．解：由函数有意义得cosx≥0，1＋tanx＞0，1＋tanx≠1，所以cosx≥0，tanx＞－1，tanx≠0，所以函数的定义域为即－π2＋2kπ≤x≤π2＋2kπ，－π4＋kπx＜π2＋kπ，k∈Z.x≠kπ，x≠kπ＋π2，x－π4＋2kπ＜x＜2kπ或2kπ＜x＜2kπ＋π2，k∈Z.(2)求函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最大值和最小值．考点二三角函数的值域及最值【案例2】(1)求y＝sin2x＋3cos2x的值域．(3)函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f(x)≤174对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．关键提示：(1)先化简；(2)换元法求；(3)配方法求．解：(1)y＝sin2x＋3cos2x＝212sin2x＋32cos2x＝2sin2x＋π3.因为sin2x＋π3≤1，所以该函数的值域为[－2,2]．(2)令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t2－12，且|t|≤2.所以y＝12(t2－1)＋t＝12(t＋1)2－1，所以当t＝－1时，ymin＝－1，当t＝2时，ymax＝2＋12.(3)f(x)＝－sin2x＋sinx＋a＝－sinx－122＋a＋14.当sinx＝12时，f(x)max＝a＋14.当sinx＝－1时，f(x)min＝a－2.所以a－2≤f(x)≤a＋14.所以要使1≤f(x)≤174恒成立，只需a＋14≤174，a－2≥1，解得3≤a≤4.分析：假设存在，寻找符合条件的a、b的值，有解则存在，反之不存在．【即时巩固2】已知f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，x∈π4，3π4.是否存在常数a、b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤3－1}？若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．解：因为π4≤x≤3π4，所以2π3≤2x＋π6≤5π3，所以－1≤sin2x＋π6≤32.假设存在这样的有理数a、b.当a＞0时，－3a＋2a＋b＝－3，2a＋2a＋b＝3－1，无解；当a＜0时，2a＋2a＋b＝－3，－3a＋2a＋b＝3－1，解得a＝－1，b＝1.因此假设成立，a＝－1，b＝1.考点三三角函数的单调性、奇偶性及图象变换问题【案例3】已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递增区间．关键提示：化简f(x)，再求出ω的值，进而求出g(x)的解析式．解：(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx，所以f(x)＝sinωxcosωx＋1＋cos2ωx2＝22sin2ωx＋π4＋12.因为ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝22sin2x＋π4＋12，所以g(x)＝f(2x)＝22sin4x＋π4＋12.由2kπ－π2≤4x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得12kπ－3π16≤x≤12kπ＋π16，所以g(x)的单调递增区间为12kπ－3π16，12kπ＋π16(k∈Z)．(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．【即时巩固3】已知函数f(x)＝cos2x＋π12，g(x)＝1＋12sin2x.解：(1)由题设知f(x)＝121＋cos2x＋π6.因为x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，所以2x0＋π6＝kπ，即2x0＝kπ－π6(k∈Z)，所以g(x0)＝1＋12sin2x0＝1＋12sinkπ－π6.当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin－π6＝1－14＝34；当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝54.(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝121＋cos2x＋π6＋1＋12sin2x＝12cos2x＋π6＋sin2x＋32＝1232cos2x＋12sin2x＋32＝12sin2x＋π3＋32.当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)时，函数h(x)＝12sin2x＋π3＋32是增函数．故函数h(x)的单调递增区间是kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．考点四三角函数的周期问题【案例4】求下列函数的最小正周期：(1)y＝2sin2x3＋1；(2)y＝|cosx|；(3)y＝sin2x＋3cos2x.关键提示：本题求函数的周期，第(1)题利用公式，第(2)题可利用函数的图象来求解；第(3)题可将函数的解析式化为一个角的某种三角函数形式，再利用公式即可求解．解：(1)因为y＝2sin2x3＋1，所以最小正周期T＝2π23＝3π，即y＝2sin2x3＋1的最小正周期为3π.(2)因为y＝|cosx|＝cosx，x∈2kπ－π2，2kπ＋π2k∈Z；－cosx，x∈2kπ＋π2，2kπ＋3π2k∈Z，所以作出y＝|cosx|的图象如图，从图中可以看出y＝|cosx|的最小正周期为π.(3)y＝sin2x＋3cos2x＝212sin2x＋32cos2x＝2sin2x·cosπ3＋cos2x·sinπ3＝2sin2x＋π3，所以最小正周期T＝2π2＝π，所以y＝sin2x＋3cos2x的最小正周期为π.【即时巩固4】求下列函数的最小正周期：(1)y＝2cosx·sinx＋π3；(2)y＝sin4x－π3.解：(1)由题意知y＝2cosx12sinx＋32cosx＝sinxcosx＋3cos2x＝12sin2x＋3×1＋cos2x2＝sin2x＋π3＋32，所以T＝π.(2)因为y＝sin4x－π3的周期为T＝π2，结合y＝sin4x－π3的图象知，其周期为π4.