第8讲-B样条曲线曲面-NURBS曲线曲面

1车身CAD山东交通学院汽车工程系2复习：分段三次B－样条曲线3Ｂ样条曲线的表达式若给定m+n+1个顶点Pi(i=0，1，2，…，m+n)，将多边折线分成m+1段，每段多边折线称为B特征多边形，构成的第i段Ｂ－样条曲线为n次多项式(i=0，1，2，…，m)：其中，Fk,n(t)为n次B样条基函数（德布尔-考克斯递推公式）∑=+=nknkkinitFPtP0,,)()(4主要讲授内容„CAGD发展；„几何造型技术；„参数曲线和曲面；„Bezier曲线与曲面；„„BB样条曲线与曲面；样条曲线与曲面；„NURBS曲线与曲面；第3章车身曲线曲面的数学模型基础5BB样条曲面样条曲面给定参数轴u和v的节点矢量p×q阶B样条曲面定义如下],,,[10pmuuuU+=L],,,[10qnvvvV+=L∑∑===minjqjpiijvNuNPvuP00,,)()(),(设节点向量,(≤,≤)分别是对参数平面的轴和轴的分割，如图所示。称下列张量积形式的参数曲面为(k≤n,h≤m)阶的B样条曲面uk-1≤u≤un＋1,vh-1≤v≤vm＋1其中是空间中给定的(n+1)×(m+1)个网格点，通常称为的控制顶点。，分别是关于节点向量U,V的k阶和h阶的B样条基函数。{}iiu+∞=−∞=U{}jjv+∞=−∞=Viu1iu+jv1jv+uvuvkh×,,00(,)()()nmijikjhijuvBuBv===∑∑PPijP,()ikBu,()jhBv(,)uvP7是空间中给定的(n+1)×(m+1)个网格点，通常称为的控制顶点。，分别是关于节点向量U,V的k阶和h阶的B样条基函数，分别由节点矢量U和V按deBoor-Cox递推公式决定。)(,uNpi)(,vNqjijPBB样条曲面样条曲面(,)uvPvm图uv平面的分割u0u1uiunv0v1vju2v2d24uvd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2d41d22给定16个顶点dij(i=1,2,3,4j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4)构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);参数v在[0,1]之间取值vk，对应于vk曲线C1、C2、C3和C4上可得到v1k、v2k、v3k和v4k四个点，该四点构成u向的一个特征多边形，定义一条新的曲线P(u,vk)；d24uvd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2d41d22uvC4C3C1C2V1kV3kV4kV2k9当参数vk在[0,1]之间取不同值时，P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由给定特征网格dij(i=1,2,3,4j=1,2,3,4)定义的双三次均匀B样条曲面片P(u,v)。与Bézier曲面一样，是对曲面的大致形状的勾画，是对的逼近。B样条曲面也具有局部调整性、凸包性、几何不变性等，它的控制网格也是人机交互的手段，也可以通过某些算法对其进行计算，这些都与B样条曲线的情况类似。{}ijP(,)uvP(,)uvP{}ijP00P10P20P30P01P11P21P31P02P22P12P32P03P23P33P双三次B样条曲面片b样条曲面13BB样条曲面样条曲面00P10P20P30P01P11P21P31P02P22P12P32P03P23P33P图3.1.33双三次B样条曲面片14主要讲授内容„CAGD发展；„几何造型技术；„参数曲线和曲面；„Bezier曲线与曲面；„B样条曲线与曲面；„„NURBSNURBS曲线与曲面；曲线与曲面；第第33章章车身曲线曲面的数学模型基础车身曲线曲面的数学模型基础15NURBSNURBS曲线曲面曲线曲面B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表示。提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。P67-6816NURBS方法的主要优点„既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。„修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性。„具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。„对几何变换和投影变换具有不变性。„非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。NURBSNURBS曲线曲面曲线曲面17应用NURBS中还有一些难以解决的问题：z比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间z权因子选择不当会引起畸变z对搭接、重叠形状的处理很麻烦。z反求曲线曲面上点的参数值的算法，存在数值不稳定问题NURBSNURBS曲线曲面曲线曲面18NURBSNURBS曲线曲线------定义定义NURBS曲线的定义NURBS曲线是由分段有理B样条多项式基函数定义的∑∑∑=====nikiinikiinikiiitRPtNtNPtP0,0,0,)()()()(ωω∑==njkjjkiikitNtNtR0,,,)()()(ωω19Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：局部支承性：Ri,k(t)=0，t∉[ti,ti+k]权性：可微性：如果分母不为零，在节点区间内是无限次连续可微的，在节点处(k-1-r)次连续可导，r是该节点的重复度。若ωi=0，则Ri,k(t)=0；若ωi=+∞，则Ri,k(t)=1；∑==nikiuR0,1)(NURBSNURBS曲线曲线------性质性质20NURBS曲线与B样条曲线具有类似的几何性质：z局部性质。z局变差减小性质。z凸包性。z在仿射与透射变换下的不变性。z在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。NURBSNURBS曲线曲线------性质性质21如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响。若，则当时，非有理与有理Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊情况∞→iω],[kiittt+∈iPtP=)(NURBSNURBS曲线曲线------性质性质22取节点向量为则NURBS曲线退化为二次Bezier曲线，且可以证明，这是圆锥曲线弧方程。称为形状因子，的值确定了圆锥曲线的类型。时，上式是抛物线弧，]1,1,1,0,0,0[=T2210222211002)1(2)1()1(2)1()(ωωωωωωttttPtPttPttP+−+−+−+−=21ωω=sfCsfC1=sfCNURBSNURBS曲线曲线------性质性质23时，上式是双曲线弧，时，上式是椭圆弧。时，上式退化为一对直线段P0P1和P1P2时，上式退化为连接两点P0P2的直线段),1(+∞∈sfC)1,0(∈sfC0=sfC+∞→sfCNURBSNURBS曲线曲线------性质性质1P2P0P椭圆抛物线双曲线图3.1.36圆锥曲线的NURBS表示24常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点。修改权因子当保持控制顶点和其它权因子不变，减少或增加某权因子时，曲线被推离或拉向相应顶点。NURBSNURBS曲线曲线------修改修改N修改权因子iPSBS*25NURBSNURBS曲线曲线------非均匀有理非均匀有理BB样条曲面样条曲面NURBS曲面的定义]1,0[,),()()()()(),(00,;,,00,,00,∈==∑∑∑∑∑∑======vuvuRPvNuNvNuNPvuPminjqjpiijqjminjpiijqjminjpiijijωω∑∑===mrnsqsprrsqjpiijqjpivNuNvNuNvuR00,,,,,;,)()()()(),(ωω26三次埃尔米特（三次埃尔米特（HermiteHermite）曲线）曲线------弗格森弗格森定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条曲线：11)1(,)0()1(,)0(++=′=′==kkkkRpRpPpPp了解内容27CTdcbatttdddcccbbbaaattttpzyxzyxzyxzyx⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=]1[]1[)(2323推导：推导：三次三次HermiteHermite曲线曲线------弗格森弗格森28hhkkkkkkkkGMRRPPRRPPdcbaC⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++−1111100010100123311220123010011111000Mh是Hermite矩阵。Gh是Hermite几何矢量。三次三次HermiteHermite曲线曲线------弗格森弗格森29三次Hermite样条曲线的方程为：[0,1]t)(∈⋅⋅=hhGMTtp[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⋅0001010012331122123tttMTh三次三次HermiteHermite曲线曲线------弗格森弗格森30通常将T•Mk称为Hermite基函数（或称混合函数，调和函数）：)(2)(32)(132)(233232231230tttHttttHtttHtttH−=+−=+−=+−=)()()()()(312110tHRtHRtHPtHPtpkkkk+++++=三次三次HermiteHermite曲线曲线------弗格森弗格森31H(t)t10.20.40.60.80.20.40.60.81`-0.2H0(t)H1(t)H2(t)H3(t)图8-4Hermite基函数三次三次HermiteHermite曲线曲线------弗格森弗格森32特点分析：特点分析：1.可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束。2.基于Hermite样条的变化形式：Cardinal样条和Kochanek-Bartels样条3.Hermite曲线具有几何不变性三次三次HermiteHermite曲线曲线------弗格森弗格森33„几何造型技术：线框模型、曲面模型和实体模型线框模型、曲面模型和实体模型三种造型技术的区别？第第33章章车身曲线曲面的数学模型基础车身曲线曲面的数学模型基础-------总结34„参数曲线和曲面；参数曲线的表示形式参数曲线的表示形式？优势？位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率？位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率？曲线间连接的光滑度的度量有两种曲线间连接的光滑度的度量有两种----------CC连续与连续与GG连续？连续？第第33章章车身曲线曲面的数学模型基础车身曲线曲面的数学模型基础-------总结35„Bezier曲线与曲面；定义表达式？定义表达式？伯恩斯坦基函数定义、性质、对曲线的影响？伯恩斯坦基函数定义、性质、对曲线的影响？递推算法？递推算法？第第33章章车身曲线曲面的数学模型基础车身曲线曲面的数学模型基础-------总结36„B样条曲线与曲面；如何理解如何理解BB样条曲线定义样条曲线定义？？与贝齐尔相比的区别？与贝齐尔相比的区别？端点性质？端点性质？第第33章章车身曲线曲面的数学模型基础车身曲线曲面的数学模型基础-------总结371.说明两条曲线达到C、G连续的条件。2.分析三次伯恩斯坦基函数对贝齐尔曲线的影响。3.分析曲线升阶后的意义。4.如何把一段贝齐尔曲线分成等长的两段？作业385.用作图方法找到t=1/3对应的贝齐尔曲线上的点，写出作图步骤。（实际作图时，不用严格和下图对应）396.已知空间一条自由曲线的两个端点，以及端点处的切向量，如图所示。用作图的方法分别得到该曲线的三次贝齐尔曲线控制顶点和三次B样条曲线控制顶点，并说明作图过程。