投资的收益与风险

投资的收益和风险一、问题提出市场上有n种资产is（i=1,2……n）可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n种资产在这一时期内购买is的平均收益率为ir，风险损失率为iq，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的is中最大的一个风险来度量。购买is时要付交易费，(费率ip)，当购买额不超过给定值iu时，交易费按购买iu计算。另外，假定同期银行存款利率是0r，既无交易费又无风险。（0r=5%）已知n=4时相关数据如下：isir（%）iq（%）ip（%）iu（元）S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。基本假设：1.投资数额M相当大,为了便于计算，假设M=1；2．投资越分散，总的风险越小；3．总体风险用投资项目is中最大的一个风险来度量；4．n种资产Si之间是相互独立的；5．在投资的这一时期内,ri,pi,qi，r0为定值，不受意外因素影响；6．净收益和总体风险只受ri,pi,qi影响，不受其他因素干扰。二、基本假设和符号规定符号规定：Si——第i种投资项目，如股票，债券ri,pi,qi----分别为Si的平均收益率,风险损失率，交易费率ui----Si的交易定额0r-------同期银行利率xi-------投资项目Si的资金a-----投资风险度Q----总体收益ΔQ----总体收益的增量三、模型的建立与分析1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}2．购买Si所付交易费是一个分段函数,即pixixiui交易费=piuixi≤ui而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小,piui更小,可以忽略不计,这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi3．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型:目标函数MAXniiiixpr0)(MINmax{qixi}约束条件niiixp0)1(=Mxi≥0i=0,1,…na．在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/M≤a，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。模型1固定风险水平，优化收益目标函数：Q=MAX11)(niiiixpr约束条件：Mxqii≤aMxpii)1(，xi≥0i=0，1，…n4.模型简化：更加准确的第一个目标函数0iyjS1iyjSniiiiiniiiuxypxrMAX10,max设表示不买，表示买（j＝1,2,…,n），则净收益最大的目标应当改为niiiixprMAX0)(由实际意义，该目标可简化为。。b．若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。模型2固定盈利水平，极小化风险目标函数：R=min{max{qixi}}约束条件：niiiixpr0)(≥k，Mxpii)1(，xi≥0i=0，1，…nc．投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险、收益赋予权重s（0＜s≤1)，s称为投资偏好系数.模型3目标函数：mins{max{qixi}}-（1-s）niiiixpr0)(约束条件niiixp0)1(=M，xi≥0i=0,1,2,…n四、模型1的求解模型1为:minf=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185)(x0x1x2x3x4)Tx0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1s.t.0.025x1≤a0.015x2≤a0.055x3≤a0.026x4≤axi≥0(i=0,1,…..4)由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：a=0;while(1.1-a)1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')，axis([00.100.5])，holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')ToMatlab（xxgh5）a=0.0030x=0.49490.12000.20000.05450.1154Q=0.1266a=0.0060x=00.24000.40000.10910.2212Q=0.2019a=0.0080x=0.00000.32000.53330.12710.0000Q=0.2112a=0.0100x=00.40000.584300Q=0.2190a=0.0200x=00.80000.188200Q=0.2518a=0.0400x=0.00000.99010.000000Q=0.2673计算结果：五、结果分析返回4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a*=0.6%，Q*=20%，所对应投资方案为:风险度收益x0x1x2x3x40.00600.201900.24000.40000.10910.22123.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。1.风险大，收益也大。目标规划例题某机器厂计划生产甲、乙两种产品，这些产品分别要在A、B、C三种不同设备上加工。按工艺文件规定，每生产一件产品甲占用各设备时间分别为2h、4h、0h，每生产一件产品乙分别占用各设备2h、0h、5h。已知各设备在计划期内的能力分别为12h、16h、15h，又知每生产一件产品甲，企业利润收入为2元，生产一件产品乙，利润收入为3元。问该企业应如何安排计划，是在计划期内的总利润收入最大？若企业的经营目标不仅仅是利润，还要考虑如下多个方面，请建立该问题的数学模型。1、力求使利润指标不低于15元；2、考虑到市场需求，甲乙两种产品的生产量需保持1：2的比例；3、A为贵重设备，严格禁止超时使用。4、设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽可能不加班，又在重要性上，设备B是C的3倍。模型建立设甲、乙两种产品的产量分别为x1和x2，可以建立该问题的线性规划模型如下：Maxz=2x1+3x2s.t.2x1+2x2≤124x1≤165x2≤15x1,x2≥0容易求出最优解为x1＝3，x2＝3，z*＝15元线性规划的局限性：1、它要考虑的解必须满足全部约束条件，但实际问题中并非所有约束都需严格满足，对某些约束有一定程度的违背是允许的。2、只能处理单目标的问题，因此线性规划模型中人为地将一些次要目标转为约束。而实际问题中，目标和约束可以互相转化，处理时不一定严格区分。3、线性规划中各约束（实际上也可看作目标）都处于同等重要地位，单现实问题中，各目标的重要性往往既有层次的差别，同一层次又可以有权重上的区别。4、线性规划寻求最优解，而很多实际问题中只需求出满意解。设分别为利润相对于15元的正负偏差量；由题意可知，设分别为甲产品产量的2倍相对于乙产品产量的正负偏差量。由题意可知：11dd和22dd和152312}min{111ddxxd0212}min{2222ddxxdd设分别为B设备工作时间相对于16小时的正负偏差量。由题意可得：设分别为C设备工作时间相对于15小时的正负偏差量。1614}min{3333ddxdd33dd和44dd和1525}min{444ddxd综上，可得如下数学模型：)4,3,2,1(0,,2,1152516140212152312122212..)(3)(min443322114333322211iddxxddxddxddxxddxxxxtsdPddPddPdPzii其中，为第i级优先因子。中的3则是权重系数。iP)(3333ddP