2013年高考理科数学广东卷

2013广东理科数学第1页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(广东卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，理1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()．A．{0}B．{0,2}C．{－2,0}D．{－2,0,2}2．(2013广东，理2)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()．A．4B．3C．2D．13．(2013广东，理3)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()．A．(2,4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4,2)4．(2013广东，理4)已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)＝()．A．32B．2C．52D．35．(2013广东，理5)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()．A．4B．143C．163D．66．(2013广东，理6)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()．A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nB．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．(2013广东，理7)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C的方程是()．A．22145xyB．22145xyC．22125xyD．22125xy8．(2013广东，理8)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()．A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)S，(x，y，w)S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)9．(2013广东，理9)不等式x2＋x－2＜0的解集为__________．10．(2013广东，理10)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝__________.11．(2013广东，理11)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为__________．12．(2013广东，理12)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝__________.2013广东理科数学第2页13．(2013广东，理13)给定区域D：44,4,0.xyxyx令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定__________条不同的直线．(二)选择题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2013广东，理14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为2cos,2sin,xtyt(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为__________．15．(2013广东，理15)(几何证明选讲选做题)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝__________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(2013广东，理16)(本小题满分12分)已知函数π()2cos12fxx，x∈R.(1)求π6f的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π,2π2，求π23f.2013广东理科数学第3页17．(2013广东，理17)(本小题满分12分)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．(2013广东，理18)(本小题满分14分)如图(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O＝3.图(1)图(2)(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．2013广东理科数学第4页19．(2013广东，理19)(本小题满分14分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，2121233nnSannn，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1211174naaa.20．(2013广东，理20)(本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为322.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．2013广东理科数学第5页21．(2013广东，理21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k∈1,12时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.2013广东理科数学第6页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(广东卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：D解析：∵M＝{－2,0}，N＝{0,2}，∴M∪N＝{－2,0,2}．2．答案：C解析：y＝x3，y＝2sinx为奇函数；y＝x2＋1为偶函数；y＝2x为非奇非偶函数．所以共有2个奇函数，故选C．3．答案：C解析：由iz＝2＋4i，得z＝24i(24i)(i)ii(i)＝4－2i，故z对应点的坐标为(4，－2)．4．答案：A解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.5．答案：B解析：方法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示，其中上、下底面分别是边长为1,2的正方形，且DD1⊥面ABCD，上底面面积S1＝12＝1，下底面面积S2＝22＝4.又∵DD1＝2，∴V台＝13(S1＋12SS＋S2)h＝13(1＋14＋4)×2＝143.方法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1都为正方形，AB＝2，A1B1＝1，且D1D⊥平面ABCD，D1D＝2.分别延长四棱台各个侧棱交于点O，设OD1＝x，因为△OD1C1∽△ODC，所以111ODDCODDC，即122xx，解得x＝2.1111ABCDABCDV＝V棱锥O－ABCD－1111OABCDV棱锥＝13×2×2×4－13×1×1×2＝143.6．答案：D解析：选项A中，m与n还可能平行或异面，故不正确；选项B中，m与n还可能异面，故不正确；选项C中，α与β还可能平行或相交，故不正确；选项D中，∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α.又n∥β，∴α⊥β.故选D．7．答案：B解析：由曲线C的右焦点为F(3,0)，知c＝3.由离心率32e，知32ca，则a＝2，故b2＝c2－a2＝9－4＝5，2013广东理科数学第7页所以双曲线C的方程为22145xy.8．答案：B解析：由(x，y，z)∈S，不妨取x＜y＜z，要使(z，w，x)∈S，则w＜x＜z或x＜z＜w.当w＜x＜z时，w＜x＜y＜z，故(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.当x＜z＜w时，x＜y＜z＜w，故(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.综上可知，(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)9．答案：{x|－2＜x＜1}解析：x2＋x－2＜0即(x＋2)(x－1)＜0，解得－2＜x＜1，故原不等式的解集为{x|－2＜x＜1}．10．答案：－1解析：y′＝k＋1x.因为曲线在点(1，k)处的切线平行于x轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得y′|x＝1＝0，故k＋1＝0，即k＝－1.11．答案：7解析：i＝1，s＝1，i≤4，s＝1＋0＝1；i＝2，s＝1，i≤4，s＝1＋1＝2；i＝3，s＝2，i≤4，s＝2＋2＝4；i＝4，s＝4，i≤4，s＝4＋3＝7；i＝5，此时i＞4，故s＝7.12．答案：20解析：因为数列{an}的等差数列，所以由等差数列的性质得a3＋a8＝a5＋a6＝a4＋a7＝10.所以3a5＋a7＝a5＋2a5＋a7＝a5＋a4＋a6＋a7＝2×10＝20.13．答案：6解析：由区域D：44,4,0,xyxyx画出可行域如图所示．满足条件的(x0，y0)有(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的点共确定6条不同的直线．(二)选择题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．答案：πsin242013广东理科数学第8页解析：∵曲线C的参数方程为2cos,2sinxtyt(t为参数)，∴其普通方程为x2＋y2＝2.又点(1,1)在曲线C上，∴切线l的斜率k＝－1.故l的方程为x＋y－2＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，即πsin24.15．答案：23解析：连接OC．∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC．又BC＝CD，∴AB＝AD＝6，∠BAC＝∠CAD．又CE为圆O的切线，则OC⊥CE.∵∠ACE为弦切角，∴∠ACE＝∠B．∴∠ACE＋∠CAD＝90°.∴CE⊥AD．又AC⊥CD，∴CD2＝ED·AD＝2×6＝12，即CD＝23.∴BC＝23.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．解：(1)πππ2cos6612f＝ππ2cos2cos144.(2)πππ22cos23312f＝π2cos24＝cos2θ－sin2θ.因为cosθ＝35，θ∈3π,2π2，所以sinθ＝45.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2425，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝725.所以π23f＝cos2θ－sin2θ＝72417252525.17．解：(1)样本均值为171920212530132=2266.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为2163，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P(A)＝1148212CC16C33.18．解：(1)由题意，得OC＝3，AC＝32，AD＝22.2013广东理科数学第9页如图，连结OD，OE，在△OCD中，由余弦定理可得OD＝222cos455OCCDOCCD.由翻折不变性可知A′D＝22，所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD．同理可证A′O⊥OE，又OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.(2)传统法：过O作OH⊥CD交C