1.3.2函数极值与导数(一)

3.3.2函数的极值与导数探究xyoxyoa()fx()fx()fx000()fx0()0fb()0fa()yfxb极小值点极大值点点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值.一、函数极值的定义1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。注意2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。yxOdefghca4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值二、导数的应用：求函数的极值1、如果x0是f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)0，在x0右侧附近f′(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值。2、如果x0是f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)0，在x0右侧附近f′(x)0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值。口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。yfx6x5x4x3x2x1xabxy（1）如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？o（2）如果把函数图象改为导函数的图象?'yfxyfxyfx答：'yfx1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。思考典例评析：求函数4431)(3xxxf的极值。解：)('xf=(31x3－4x+4)′=x2－4=(x+2)(x－2)奎屯王新敞新疆令)('xf=0，解得x1=2，x2=－2奎屯王新敞新疆下面分两种情况讨论：(1)当)('xf0，即x2,或-2时；(2)当)('xf0，即-2x2时。当x变化时，)('xf，)(xf的变化情况如下表：x)2,(-2(-2,2)22,)('xf+0－0+)(xf单调递增↗283单调递减↘43单调递增↗∴当x=－2时，)(xf有极大值，并且及极大值为)2(f=328奎屯王新敞新疆当x=2时，)(xf有极小值并且及极小值为)2(f=－34。oxy-22+-+-28343－函数4431)(3xxxf的图像如图所示求函数y=f(x)极值(极大值、极小值)的步骤：(1)求导；(2)求极值点；(3)讨论单调性；(4)列表；(5)写出极值.巩固练习求出函数593)(23xxxxf的极值。解963)(2xxxf，令0)(xf列表讨论x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xx121,3.xx得极值点3x,1x0)(或，得令xf3x10)(，得令xfx)0,(0),0()('xf+0+)(xf↗↗思考拓展(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？oxy++3yx3()fxx2()3fxx例如：拓展提高：若f(x0)是极值，则=0?)('0xff(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f(x0)=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件思考当堂练习：1.求函数3126)(xxxf的极值：2.函数3)(xxf是否有极值?1.极小值10)2(f，极大值22)2(f2.无极值。