1.3.3函数的最值与导数(12.17). (2)

1.3.2函数的极值与导数函数单调性与导数的关系?设函数y=f(x)在某个开区间内•如果f′(x)0，则f(x)在这个区间内为增函数；•如果f′(x)0，则f(x)在这个区间内为减函数；•如果f′(x)=0，则f(x)在这个区间内为常数函数；复习:切记：如果函数f(x)在指定区间单调增，则f’(x)≥0如果函数f(x)在指定区间单调减，则f’(x)≤0yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)函数y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右临近各点处的函数值大小有什么关系?观察图象，问题探究：一、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0及其附近有定义，•1.如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•2.如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的x0称为极值点说明：1、在定义中，取得极值的x0称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。一、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0及其附近有定义，•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点2、极值反映了的函数在某一点附近的大小情况，是函数的局部性质.极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。即:极大值不一定等于最大值,极小值不一定等于最小值.极大（小）值不一定比极小（大）值大（小）.一、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0及其附近有定义，•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点3、函数的极值不唯一，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不只一个。yxO观察与思考：极值与导数有何关系？在极值点处，曲线若有切线则切线是水平的，即:当切线存在时,极值点处的导数为0.aby=f(x)x1f(x1)=0x2f(x2)=0x3f(x3)=0注意：导数为0的点不一定是极值点,如y=x3f(x)0yxOx1aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近f(x)0f(x)0f(x)01、如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极小值；已知函数f(x)在点x0处的时，则二、判断函数极值的方法x200'=xf例1求函数的极值。44xx31y3=x(-∞，-2）-2(-2，2）2(2，+∞）y′+0－0+y解：定义域为R，y′=x2-4由y′=0可得x=-2或x=2当x变化时，y′,y的变化情况如下表：因此，当x=-2时，y极大值=28/3当x=2时，y极小值=－4/328/3-4/31、如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极小值；已知函数f(x)在点x0处的时，则00'=xf求函数f(x)极值的步骤：(2)解方程：求方程f’(x）=0的根；(3)列表格：用(2)中求得的根，把定义域划分为若干区间，并列成表格;(4)下结论：检查f’(x)在方程根左右的符号—•如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；•如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)求定义域：确定函数的定义域；例2求函数y=(x2-1)3+1的极值。x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′000y解：定义域为R，y′=6x(x2-1)2。由y′=0可得x1=-1,x2=0，x3=1当x变化时，y′,y的变化情况如下表：因此，当x=0时，y极小值=0；没有极大值.点评：一个点是极值点,则这点两侧的导数异号。无极值无极值0例2求函数y=(x2-1)3+1的极值。x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′000y解：定义域为R，y′=6x(x2-1)2。由y′=0可得x1=-1,x2=0，x3=1当x变化时，y′,y的变化情况如下表：因此，当x=0时，y极小值=0；没有极大值.无极值无极值有极小值0练习：求下列函数的极值(1)y=x3-27x(2)y=6+12x-x3小结1.函数极值的定义2.判断函数极值的方法3.求函数极值的步骤思考：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取得极大值7；当x=3时取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值。