第五节 第二类曲面积分

学过的曲线和曲面积分01(,,)lim(,,)nkkkkLkfxyzdlfl01(,,)lim(,,)nkkkkLkfxyzdxfxxyz1kMkM(,,)kkkkP()nMB0()MAklk第个有向弧段的弧长kxkx第个有向弧段在轴上的投影oxyz(,,)kkkkPS01(,,)lim(,,)nkkkkSkfxyzdSfS第二类曲线积分第一类曲面积分第一类曲线积分kSk第个小曲面的面积(,,)SfxyzdS(1):(,),(,),xySzzxyxyD曲面则第一类曲面积分计算公式：22(,,)(,(,),)1()()xzSDyyfxyzdSfxyxzzdxdzxz(2):(,),(,),xzSyyxzxzD曲面则22(,,)((,),,)1()()xzSDxxfxyzdSfxyzyzdydzyz(3):(,),(,),yzSxxyzyzD曲面则xyD221()()zzdxdyxy(,,(,))fxyzxy第五节第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）•曲面的方向•概念的引入•对坐标的曲面积分的概念和性质•对坐标的曲面积分的计算方法•两类曲面积分的联系•小结一、曲面的方向观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面n莫比乌斯带典型单侧曲面:nn注意：这里我们只考虑双侧曲面曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.如何规定曲面的侧？z若曲面与平行于轴的直线只有一个交点，曲面方程：n法向量{,,1}xyzz{,,1}xynzz当时，称曲面取上侧{,,1}xynzz当时，称曲面取下侧2z法向量与轴正向夹角小于，2z法向量与轴正向夹角大于，(,)zzxycos0cos0xyz{,,1}xyzz{,,1}xyzzx若曲面与平行于轴的直线只有一个交点，曲面方程：(,)xxyz{1,}yznxx当，时，n法向量{1,}yzxx，称曲面取前侧{1,}yznxx当，时，称曲面取后侧2x法向量与轴正向夹角小于，2x法向量与轴正向夹角大于，cos0cos0xyz{1,,}yzxx{1,,}yzxxy若曲面与平行于轴的直线只有一个交点，若曲面方程：(,)yyxz{,1,}xznyy当时，n法向量{,1,}xzyy称曲面取右侧{,1,}xznyy当时，称曲面取左侧2y法向量与轴正向夹角小于，2y法向量与轴正向夹角大于，cos0cos0xyz{,1,}xzyy{,1,}xzyy决定了侧的曲面称为有向曲面0为前侧0为后侧0为右侧0为左侧0为上侧0为下侧外侧内侧方向余弦coscoscos封闭曲面侧的规定{cos,cos,cos}n一般地，法向量与侧的关系曲面的投影问题:面在xoyS,在有向曲面S上取一小块.0cos00cos)(0cos)()(时当时当时当xyxyxyS.)(表示投影区域的面积其中xy为上的投影xyS)(曲面S类似可规定()yzS(),yz(),yz,0cos0cos0cos0()zxS(),zx(),zx,0cos0cos0cos0二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.(1)流速场为常向量v,有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).Av0nAAvnvAvA0cos流量(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由(,,)(,,)(,,)(,,)vxyzXxyziYxyzjZxyzk给出,S是速度场中的一片有向曲面,函数(,,),(,,),(,,)XxyzYxyzZxyz都在S上连续,求在单位时间内流向S指定侧的流体的质量.xyzoxyzoiS),,(iiiivin把曲面S分成n小块is(is同时也代表第i小块曲面的面积),在is上任取一点),,(iii,1.分割则该点流速为.iv法向量为.in该点处曲面Σ的单位法向量kjiniiiicoscoscos0,通过is流向指定侧的流量的近似值为0(1,2,,).iiivnSin(,,)(,,)(,,)(,,),iiiiiiiiiiiiivvXiYjZk2.求和通过Σ流向指定侧的流量01niiiivnS1[(,,)cos(,,)cos(,,)cos]niiiiiiiiiiiiiiXYZS1[(,,)()(,,)()(,,)()]niiiiyziiiixziiiiixyXSYSZS3.取极限0.的精确值取极限得到流量01lim[(,,)()(,,)()(,,)()]niiiiyziiiixziiiiixyXSYSZS定义设S为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把S分成n块小曲面iS(iS同时又表示第i块小曲面的面积),iS在xoy面上的投影为xyiS)(,),,(iii是iS上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值0时,01lim(,,)()niiiixyiZS存在,则称此极限为函数(,,)Zxyz在有向曲面S上对坐标yx,的曲面积分(也称第二类曲面积分)三、概念及性质01(,,)lim(,,)()niiiixyiSZxyzdxdyZS被积函数积分曲面类似可定义01(,,)lim(,,)()niiiiyziSXxyzdydzXS01(,,)lim(,,)()niiiizxiYxyzdzdxYSSdxdyzyxX即记作,),,(存在条件:当(,,),(,,),(,,)XxyzYxyzZxyz在有向光滑曲面S上连续时,对坐标的曲面积分存在.组合形式:(,,)(,,)(,,)SXxyzdydzYxyzdzdxZxyzdxdy物理意义:(,,)(,,)(,,)SXxyzdydzYxyzdzdxZxyzdxdy性质:12121.SSSSXdydzYdzdxZdxdyXdydzYdzdxZdxdyXdydzYdzdxZdxdySSSSSSdxdyzyxZdxdyzyxZdzdxzyxYdzdxzyxYdydzzyxXdydzzyxX),,(),,(),,(),,(),,(),,(.2四、计算方法设积分曲面S是由方程),(yxzz所给出的曲面上侧,S在xoy面上的投影区域为xyD,函数),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数,被积函数),,(zyxZ在S上连续.),(yxfzxyDxyzoxyS)(nixyiiiiSSZdxdyzyxZ10))(,,(lim),,(),(,)()(,0cos,iiixyxyizSS又取上侧nixyiiiiinixyiiiizZSZ1010)))(,(,,(lim))(,,(limxyDSdxdyyxzyxRdxdyzyxZ)],(,,[),,(即,)()(,0cos,xyxyiSS取下侧若xyDdxdyyxzyxZdxdyzyxZ)],(,,[),,(则有给出由如果,),(zyxxSyzDSdydzzyzyxXdydzzyxX],),,([),,(则有给出由如果,),(xzyySzxDSdzdxzxzyxYdzdxzyxY]),,(,[),,(注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.例2.计算,Szdxdyxdydzydzdx221xyS为柱面0z3z被平面和所截得的在第一卦限部分的曲面，取曲面的外侧。解xyz11yzD由于曲面垂直于xOy面故S在xOy面的投影为0,因此Szdxdy0S在yOz面的投影区域为矩形{(,)|01,03}yzDyzyzS的方程为21,xy其外侧为前侧，得SxdydzSxdydz21yzDydydz132001ydydz12031ydy3434zxDxyz11yzDSzdxdyxdydzydzdx对换x和y，曲面S保持不变，由轮换对称性，知SydzdxSxdzdy343304432得解:把分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz思考:下述解法是否正确:例1.计算曲面积分,ddyxxyz其中为球面2x外侧在第一和第八卦限部分.ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zyyxDyxyxyxdd1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddxyzxy1ddxyzxyyxDyxxydd)1(22yxyxDyxxydd221yxddrrozyx112yxD例3.设S为锥体222,0xyzza的全表面，取外侧，流体的密度为1，流速为23,vxiyjzk求流体通过曲面S的流量。解xyz流量QS23xdydzydxdzzdxdy曲面S分为两部分，2221:,,Szaxya平面锥面2222:,0,Sxyzza取上侧；取下侧。xyz计算1SQxdydz2221:,,Szaxya平面取上侧,锥面2221:,0,Sxzyza取前侧,锥面2222:,0,Sxzyza取后侧,在yoz坐标面上的投影为0;它们在yoz坐标面上的投影区域都为yzD{(,)|0,}yzzazyzyzayzyzyzD因此1Q1Sxdydz022yzDzydydz22()yzDzydydz21Sxdydz22Sxdydz222yzDzydydz1SQxdydzyzayzyzyzD2202azzdzzydy2022azdz33a由轮换对称性知23SxdydzydxdzzdxdySydzdxSxdzdy33a得22SQydzdx323axyz曲面S分为两部分，2221:,,Szaxya平面锥面222:,0,Szxyza计算33SQzdxdy取上侧；取下侧。它们在xoy面上的投影区域均为222{(,)|}xyDxyxya得3Q13Szdxdy23Szdxdy3xyDadxdy223xyDxydxdy23aa2003add3332aa3a123QQQQ32a五、两类曲面积分之间的联系设有向曲面Σ是由方程),(yxzz给出,Σ在xoy面上的投影区域为xyD,函数),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数,),,(zyxZ在Σ上连续.对坐标的曲面积分为xyDdxdyyxzyxZdxdyzyxZ)],(,,[),,(xyD),(yxfzxyzodsn有向曲面Σ的法向量的方向余弦为在点),,(zyx处的单位法